信号处理傅里叶变换剖析.ppt

2.6 频域采样理论 时域采样定理表示：一定条件下，可由时域离散采样信号恢复原连续信号；那么能否也可由频域离散采样恢复原信号？其条件是什么？内插公式又是什么形式？ 设任意绝对可和非周期序列x(n)的Z变换为 (收收敛域包括单位圆) 在单位圆上对X(z)进行N点等距采样得到 下面讨论频率采样后， X(k) 反变换xN(n)能否代表原序列x(n)？ X(k)反变换xN(n)与原序列x(n)的关系 分析X(k)的周期延拓序列 的IDFS (定义) 得到 进一步，将上式写成xN(n)与x(n)间的关系式 结论：X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT，为原非周期序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列 显然如果序列x(n)长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有 即由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是频域采样定理 频域采样定理 用频域采样X(k)来表示X(z)与频率响应X(ejω)的内插公式 N个频域采样X(k)能不失真代表N点有限长序列x(n)，因此X(k)也能够完全地表达整个X(z)及频率响应X(ejω) 右式称为用X(k)表示X(z)的内插公式， φk(z)称为内插函数。 当 z=e jω时, 上式即为x(n)的傅里叶变换X(ejω)的内插函数(公式) 频域采样理论及相关公式为FIR滤波器结构设计以及逼近FIR滤波器传递函数提供了一种有效途径 THE END 2.4.2 DFT与序列FT、ZT间的关系（ DFT的物理意义） 设序列x(n) 的长度为N， 其Z变换和DFT分别为 比较上面二式可得关系式 2.4.2 DFT与序列FT、ZT间的关系（ DFT的物理意义） 结论（频域离散化） 序列x(n) 的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 X(k)为x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0, 2π]上的N点等间隔采样 DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间[0, 2π]上的采样间隔与采样点数不同，因此DFT的变换结果不同 图示DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 时域采样理论实现了时域离散化，使得可在时域上进行数字处理 DFT理论实现了频域离散化，因而开辟了用数字技术在频域处理信号的新途径 例 有限长序列x(n)为 0≤n≤4 其余n 求N=5,10 点的DFT X(k)是频谱的等间隔采样。 问题：采样点之间的频谱如何得到？采样点K、数字角频率、模拟频率f的关系？ 2.5 离散傅里叶变换的性质 以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT[·]表示N点DFT DFT［x1(n)］=X1(k) DFT［x2(n)］=X2(k) 2.5.1 线性 a, b为任意常数 2.5.2 圆周移位（循环移位） y(n)=x((n+m))NRN(n) 长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为 1. 定义 图示圆周（循环）移位过程 比较移位前后：x(n)排列前面的按照顺序移到后面即得到。 2. 时域圆周移位定理 证 则圆周移位后的DFT为 设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位 利用周期序列的移位性质加以证明 有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列, 即 3. 频域圆周移位定理 频域有限长序列X(k)，长度N 由于频域与时域的对偶关系，有如下性质 则 若 2.5.3 圆周卷积 若 则 设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0≤n≤N-1），且有： 上式所表示的运算称为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积 圆周卷积矩阵计算公式 N 频域圆周卷积定理 x1(n)，x2(n)皆为N点有限长序列 若 N 则 例题 已知x(n)={4,3,2,1},y(n)={4,3,0,1,1};分别用图解法和矩阵法计算两序列的5点圆周卷积。｛21，27，18，14，10｝ 2.5.4 有限长序列的线性卷积与圆周卷积 有限长序列存在两种形式的卷积：线性卷积和圆周卷积 圆周卷积:计算速度快。在频域上相当于两序列的DFT乘积，DFT有快速算法FFT 线性卷积：实际需要（LTI系统） 能否实现线性卷积的快速计算？ 因此下面讨论两种卷积间的关系以及相等的条件 两序列的线性卷积 设x1(n)是N1点的有限长序列，x2(n)是N2点的有限长序列 例 N1=4的矩形序列x1(n)与N2=5的矩形序列x2(n) L1=N1+N2-1 两序列的圆周卷积 假设进行L 点圆周卷积，(L ≥max［N1, N2］) 将x1(n)与x2(n)补零，使之均成为长度为L的序列 两序列可做长度为L的圆周卷积 L 不同L 点的圆周卷积 两种卷积有相同结果的