函数的单调性(精品讲义).doc

都江堰辅导讲义 任课教师: 岳老师 Tel课题 函数的单调性 基础盘查一　函数的单调性 1．判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性(　　) (2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)f(3)(　　) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(　　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)(0，＋∞)(　　) (5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)(　　) 2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x[2,4])的增区间为________． 3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________． ．判断正误 (1)所有的单调函数都有最值(　　) (2)函数y＝在[1,3]上的最小值为(　　) ．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x[2,6])，则函数的最大值为________． 【答案】1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×．[2,4]．．(1)× (2)√．2 [必备知识1]：单调性的定义 设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有： (1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)．设x1，x2[a，b]，如果0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果0，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数． [必备知识2]：确定单调性的方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． [] 【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　　　　B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 解析选C　当x0时，f(x)＝3－x为减函数；当x时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C. 【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性． 解任取x1，x2(1，＋∞)，且x1x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝， 因为1x1x2，所以x1－x20，(x1－1)(x2－1)0，因此g(x1)－g(x2)0，即g(x1)g(x2)． 故g(x)在(1，＋∞)上是增函数． [必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 【例】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3|x|；　(2)f(x)＝|x2＋2x－3|(3)y＝－x2＋2|x|＋1【解(1)∵f(x)＝3|x|＝图象如图所示． f(x)在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数． (2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞－3][－1,1]．(3)由于y＝即y＝ 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．求函数y＝的单调区间． 解令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数． 由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． [必备知识3]复合函数单调性的判断 利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． 函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值； (2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式； (4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一：求函数的值域或最值 【例】函数f(x)＝的最大值为________． 解析当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；