复化梯形公式和复化辛普森公式的对比分析与应用.pdf

复化梯形公式和复化辛普森公式的对比分析与应用 刁 红，赵晓慧 辽宁工程技术大学理学院，辽宁 阜新（123000 ） e-mail ：happy1999hong@126.com 摘 要：通过结合复化梯形公式和辛普森公式概念和性质的论述，将其进行对比和示例的演 示，诣在了解数值分析在实际中的应用以及复化积分公式的优点，其作为一种工具在生产和 生活中发挥了巨大的作用。并且由于数值积分的误差直接影响运算结果的精度，所以通过对 比来理解数学余项和误差的含义，精度的概念，收敛性和稳定性的内容。 关键词：复化梯形公式；复化辛普森公式；余项及误差；代数精度；收敛性及稳定性 中图分类号：0241.4 1. 引言 在科学计算中，数值微积分是经常遇到的一个重要计算环节，而且是现代科学研究的有 力工具，在工程实际中有较大应用。一般来说数值积分比微分的精度要高一些，在理论上的 价值要更大一些，并且复化辛普森公式计算的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果可 满足各种精度。 在很多技术领域的实践中，一定条件下我们可以使用牛顿-莱布尼兹公式求得，但在很 多情况下被积函数找不到用解析式表达的原函数，也就是无法使用牛顿-莱布尼兹公式求得 原函数。此外，有的积分即使能找到表达式，其式子也非常复杂，计算起来非常困难。 数值积分的计算方法很多，牛顿-科特斯方法、龙贝格方法、高斯方法等，其中牛顿-科 特斯方法是利用插值多项式构造函数积分但其高阶方法没有收敛性保证，在实际中很少用 到；龙贝格方法收敛速度快，精度高，但其运算量大；高斯方法精度高，数值稳定性好，收 敛速度快，但结点与系数的计算比较麻烦且需要积分函数。所以在数值分析中,常用复化梯 形公式和复化辛普森公式求满足一定精度的近似值。特别是在 f(x)的原函数找不到的情况下 复化梯形更显示出其优越性。 因此我们将举例介绍一下复化梯形公式和复化辛普森公式特点及其误差估计、求积公 式的代数精确度、收敛性和稳定性。详见于参考文献[1][3]。 2. 两种数值积分公式性质及其对比 2.1 梯形公式与辛普森求积公式 求积公式为 称为梯形公式； 求积公式为 称为辛普森求积公 式。 对于梯形公式，它的代数精确度为一次，且它的余项由 给出，记 ，则 -1- ′′( ) 3 −f η (a −b ),η ∈(a,b) 由积分中值定理得∃η ∈[a,b] 使 R1 (f ) 12 这就是梯形公 式的截断误差。 辛普森公式的代数精确度是三次，根据求积公式是插值求积公式的充分必要条件是 至 少 具 有 n 次 代 数 精 确 度 。 这就是辛普森求积公式的余项，即截断误差。 鉴于参考文献[1][5][9]。 2.2 复化梯形公式与复合辛普森公式 直接用梯形公式及辛普森公式计算积分 I (f )误差较大，所以为达到要求的精度，通常 可将 分为 n 个小区间，在小区间上应用梯形公式及辛普森公式可达到要求。为此取分 点 ， 在每个小区间 上用梯形公式。