基于非参数GARCH模型一种波动率估计方法.doc

案例13 基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法 一、文献及研究综述 波动率（volatility）是资产收益不确定性的衡量，它经常用来衡量资产的风险。一般来说，波动率越大，意味着风险越高。由于波动率在投资分析，期权定价等方面的重要性，近20年来一直是金融领域的一个研究热点，出现许多描述金融市场波动率的模型，最为典型的是Bollerslev（1986）提出的广义自回归条件异方差模型（GARCH模型），而在实证中得到广泛应用的是其中的GARCH(1,1)模型，即条件方差不但依赖与滞后一期的扰动项的平方，而且也依赖于自身的滞后一期值，三者之间存在一种线形关系。针对三者之间的线形关系是否合适即能否用一种更有效的函数关系来描述的问题，人们进行了一些有意义的探索。Engel和Gonzalez-Rivera(1991)采用半参数方法对条件方差进行建模，对扰动项的滞后值采取非参数形式，对条件方差自身的滞后值采用线形形式，两位的研究思路为人们以后的研究工作拓宽了思路。Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil（2002）对三者之间的函数关系用一种非参数形式来描述，给出了一种全新的估计波动率的循环算法，并对这一全新的算法的可行性和有效性给出了证明，得出非参数形式的GARCH(1,1)对波动率的估计效果要强与参数形式的GARCH(1,1)。Antonio Cosma和Fausto Galli（2005）利用Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil所提出的估计波动率的算法，对非参数形式的ACD模型（Autoregressive Conditional Duration Model）的久期(duration)进行估计，也得出用该估计算法的非参数形式比参数形式的ACD模型的估计效果优越。 本文采用非参数方法中的非参数可加模型，对条件方差采用非参数可加模型GARCH(1,1)形式进行建模，即对条件方差的滞后值和扰动项的滞后值分别采用不同的函数形式进行建模。估计方法是基于Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH估计时的算法思想，采取模拟数据和真实收益率数据分别同参数形式的GARCH(1,1)采用极大似然估计结果进行比较。文章下面的结构是：第二部分是有关方法的描述。第三部分是模拟实验。第四部分是实证部分。第五部分是本文结束语。 二、方法描述 ㈠ Bollerslev（1986）提出的标准的GARCH(1,1)形式： （1） 其中，是时间的信息集，包含了及其以前的信息，是扰动项，是条件方差，是白噪声。为确保有条件的方差非负，和必须非负，且满足才保证序列是宽平稳的。 传统的估计波动率的参数方法是对式（1）中的各个系数通过极大似然估计得到，本文对波动率的参数法估计亦采用此方法。 　 ㈡本文的非参数可加GARCH(1,1)模型形式： 　　　　　　　　　 　　　　　　　　（2） 　　对式(2)进行如下推导： 因为：，，， 这样就可以利用非参数方法对关于和进行非参数回归。对可加模型的非参数回归方法不同与一般的非参数形式的回归，因为在可加模型中含有常数项，还要同时估计两个函数，在一定程度上给估计工作增添了难度，这里本文采用Hastie和Tibshirani(1990)对广义可加模型估计时采用的Backfitting算法。核函数采用高斯核，窗宽的选择方法是交错鉴定法（Cross-validation）,采用局部多项式回归(Local Polynomial Regression)。 然而在实际应用中，波动率序列是不能被观测的隐含变量，怎样更好的逼近真实值的问题将在下面的估计算法中得到解决。 ㈢估计算法： 本文的估计算法是基于Peter Buhlmann和Alexander J.MeNeil(2002)对非参数GARCH估计时提出的算法思想，具体思如下： 假设我们有一样本{}具有GARCH效应： Step 1:首先采用极大似然估计进行参数估计得到波动率{}的估计{}，设m=1; Step 2: 对关于和做非参数回归，采用广义可加模型的Backfitting循环算法分别得到函数的估计，的估计和的估计； Step 3: 通过计算出的估计值，对于的值可用代替； Step 4: m的值加1然后返回setp 2; 最后，假设我们循环了M次，为提高该算法的稳定性，将这M次估计出的波动率取平均值，即，然后运算最后一次非参数回归：对关于和的非参数回归得到，，的最终估计分别为，，，然后用函数的最终估计形式求出波动率的最终估计值，