《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何.ppt

第7章 向量代数与空间解析几何 知识目标 了解二次曲面的标准方程； 理解空间直角坐标系、向量的概念； 会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系； 掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程； 熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程. 能力目标 通过几何问题代数化，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力. 7.1 空间向量及其线性运算 了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题. 7.1.1 空间直角坐标系 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向. 这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限. 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1） 2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等. 7.2 向量的数量积与向量积 掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件. 7.2.1 向量的数量积 7.2.2 向量的向量积 7.3 平面与直线 平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系. 7.3.1 平面的方程 7.4 常见空间曲面 本章建立了作为点的轨迹的曲线与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题，从而用代数的方法对一些曲线与曲面进行研究创造了条件.通过本章节的学习，将逐步培养学生的空间感，加强运用代数与几何相结合的方法分析问题和解决问题的能力. 7.4.1 曲面的方程 7.4.2 常见的二次曲面及其标准方程 本章小结 本章主要从空间向量入手，给出空间直角坐标系、向 量的概念、表示方法、线性运算及其数量积与向量积 的运算.进一步建立作为点的轨迹的曲线与其方程之间 的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究 其方程的代数问题，从而，用代数的方法对一些曲线 与曲面进行研究创造了条件.本章重点是：1.运用坐标 求向量的数量积、向量积、夹角、距离等线性运算； 2.求平面与直线方程；3.判断平面与平面、直线与平 面、直线与直线间的位置关系；4.判断空间各种曲面 的形状.本章难点是：1.求异面直线间的距离；2.常用 空间曲面的求法. F P O L Q 向量积 右手系规则图示 向量积模的几何意义 分解式法 坐标法 向量积的运算方法 例 题 解： 向量积的性质 向量积的运算律 向量的混合积 想一想 平面的法向量 平面的点法式方程 平面方程的表达式 平面的一般式方程 解： 求过两点M1 (2， -1，1) 和M2 (3， -2，1),且平行于 z轴的平面方程。 例 题 解： 求过点M(1， -1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。 例 题 7.3.2 直线方程 直线的点向式和参数方程 直线方程的一般式 直线方程的两点式 三种表达形式 M(x， y， z) L M0(x0 ， y0 ， z0) s={l， m， n} M(x， y， z) M0(x0 ， y0 ， z0) 直线的对称式方程 （或向式方程）： 直线的参数方程： 直线的一般式方程 例题 解： （两个相交平面的交线来表示） 直线的两点式方程 7.3.3 直线与平面的相互位置关系 两平面的位置关系 两直线间的位置关系 直线与平面的位置关系 三 种 关 系 两平面的位置关系 三种位置关系相交、平行、重合 两直线间的位置关系 两种位置关系异面、共面 平行 重合 相交 直线与平面的位置关系 三种位置关系相交、平行、直线在平面上 例 题 解： 解： 点到平面距离公式 直线与平面的夹角 例 题 解： 注：上结论可作为公式应用. 两个平面间夹角 注：可类似地定义两条直线之间的夹角. 任何曲面都可看成是点的几何轨迹. 注：一般地，三元方程 的图象都是空 间曲面. 柱面