5.1 引言(基本求解公式).PPT

张利萍制作 小结 这节课我们主要学习了： 1、基于数值微分的常微分方程数值解法 2、基于数值积分的常微分方程数值解法 要求熟练掌握欧拉公式、改进的欧拉公式、校正欧拉公式 作业：课后相应习题 (3)改进Euler公式 x y 0 1.0000 0.1 0.9050 0.2 0.8190 0.3 0.7412 0.4 0.6708 0.5 0.6071 使用MATLAB软件 Euler2.m 结果为 0.9050 0.8190 0.7412 0.6708 0.6071 Euler公式 梯形公式 改进Euler公式 结果比较 Euler法的精度不如梯形公式 (三) Simpson求解公式 将Simpson求积公式 代入（11） 简化后,得 ------(16) * 新疆医科大学 主讲人：张利萍 计 算 方 法 zlp 第五章 常微分方程数值解 第五章 常微分方程数值解 5.1 引言(基本求解公式) 5.2 Runge-Kutta法 5.3 微分方程组和高阶方程解法简介 本章要点： 本章作业 本章主要研究基于微积分数值解法的常 微分方程数值解，主要方法有 线性单步法中的Euler方法、Simpson方法、 Runge-Kutta方法 高阶微分方程和微分方程组的数值解法 P208. 1. 3. 4. 7. 8. 10. 11. 12. 本章应用题: 驱逐舰在浓雾中搜索潜艇，其时发现潜艇在3英里 的海面上，但潜艇立即下潜，驱逐舰速度两倍于潜 艇，且已知潜艇下潜后即以全速朝某一未知方向直 线前进，问驱逐舰应采取什么路线才能保证它会开 过潜艇的上方以投放深水炸弹？ 提示 取极坐标，并以发现潜艇时潜艇的位置为原点 ———反潜 5.1 引言(基本求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程 只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解 而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解 在高等数学中我们见过以下常微分方程： -----------(1) -----------(2) -----------(3) (1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 -----------(4) 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)~(4)只作简单介绍 我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件 定理1. 对于问题(1),要求它的数值解 -----------(1) 从(1)的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过 一、基于数值微分的常微分方程数值解法 -----------(1) 对于初值问题(1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 --------(5) (一) Euler公式 由(5)式每组的前一半可得 --------(6) --------(7) 记 其中 (6)和(7)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式和误差项 由(5)式每组的后一半可得 记 其中 --------(8) --------(9) (8)和(9)式称为求解初值问题(1)的后退Euler公式和误差项 从(6)或(8)式不难看出, 这种类型的方法称为单步格式或单步法 Euler方法的几何体现: 前进Euler公式 后退Euler公式 Euler1.m 例1. 解: 由前进Euler公式 得 依此类推,有 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848 由于后退Euler公式是隐形公式,计算例1将很麻烦 事实上大多数情况下用后退Euler公式都较困难 就可得到新的Euler公式 --------(10) 此方法称为预测—校正系统 用Euler公式的预测——校正系统求解例1.