上海海事大学概率论第七章参数估计.pptVIP

我们的任务是： 称 为似然函数 称满足 的 为 的极大似然估计值。 称 为 的极大似然估计量（MLE）. 例4 设总体 X ~ b ( 1, p ),X1,…,Xn是一个样本，求参数 p 的极大似然估计. 解： X 0 1 P 1-p p 例5设总体 其中 0, 求 的极大似然估计. 解： ! 在总体分布中，把概率函数(或密度)中自变量看成已知常数,而把参数 θ 看作自变量导出似然函数 L(θ ); 求极大似然估计（MLE）的一般步骤： 求似然函数L(θ ) 的最大值点(常常转化为求ln L(θ)的最大值点) ，即θ 的MLE; 在最大值点的表达式中, 用样本代入就得参数θ 的极大似然估计量 两点说明 1、求似然函数L( ) 的最大值点，通过求 解似然方程： 得到 的MLE 。 若 是向量，上述方程必须用似然方程 组代替 。 2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然原理来求 。 解： 例6 设总体 其中参数 未知，使用极大似然估计法求 的估计量。 例7 其中 0,求 的极大似然估计。 解： i=1,2,…,n i=1,2,…,n (1) (2) 由 (1) 得 ?! 是 的增函数 故使 达到最大的 即 的MLE， { { 极大似然估计的一个性质: 设 的函数 g = g ( ) 是 上的实值函数,且有唯一反函数 。如果 是 的极大似然估计，则 g( ) 也是 g( ) 的极大似然估计。 例8 一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有 k 个白球，求罐中黑球与白球之比 R 的极大似然估计. 解: 显然 X~b ( 1, p ) ，由例 4 第七章 参数估计 在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数。 例如： 估计大学生的平均身高 参数估计问题的一般提法 现从该总体抽样，得样本 设有一个统计总体，总体的分布函数 向量) . 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是 （ X1, X2 , … , Xn ） 要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 。这类问题称为： 参数估计 参数估计 点估计 区间估计 例1 已知某地区大学生的身高 X~ 随机抽查100个大学生得100个身高数据。 呢? 据此,我们应如何估计 和 §1 点估计 为估计 ,我们需要构造出适当的样本的函数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 . T( X1 , X2 , …Xn ) 称为参数 的点估计量， 把样本值代入T( X1 , X2 , …Xn ) 中，得到 的一个点估计值 。 请注意，被估计的参数 是一个 未知常数，而估计量 T(X1,X2,…Xn) 是一个随机变量，是样本的函数,当 样本取定后，它是个已知的数值,这 个数常称为 的估计值 。 问题是: 使用什么样的统计量去估计 ？ 寻求估计量的方法： 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 1. 矩估计法 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 。 记总体k阶矩为 样本k阶矩为 记总体k阶中心矩为 样本k阶中心矩为 用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法。 理论依据: 大数定律 一般地,设总体X?f(x;θ), 其中 , 求参数θ的矩估计的一般步骤为: 1. 令 2.解: 其中 3. 得 最常用的是： !!!!p151 例2 设总体X的概率密度为 是未知参数, 其中 X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估