三江ch1函数与连续2013.pptVIP

显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 例如, 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 例4. 求 解: 原式 说明: 若 则有 例5. 设 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类间断点 . 在点 x = 1 不连续 , 一、最值定理 二、介值定理 第十节闭区间上连续函数的性质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有 * * 运行时点击 “刘徽割圆术” , 或刘徽按钮 , 可放映刘徽简介 * 若不讲“柯西准则”, 则点击“内容小结”按钮, 继续其它内容 * 运行时, 点击“解答见课件第二节例5”, 或“机动” 按钮 , 可显示解题过程 * * 运行时, 点击“注”, 或按钮“注”, 运行计算该极限的过程, 运行结束自动返回. * 一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. 有定义, 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 有 定理1. 有定义, 且 设 即 当 有 有定义 , 且 对上述 ? , 时, 有 于是当 时 故 可用反证法证明. (略) 有 证： 当 “ ” “ ” 定理1. 有定义 且 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 由定理 1 知 不存在 . 2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 当 时 注 例2. 求 解: 例3. 求 解: 令 则 因此 原式 例4. 求 解: 原式 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 2. 证: 当 时, 设 则 当 则 从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 例6. 求 解: 令 则 说明 ：若利用 则 原式 例7. 求 解: 原式 = 两个重要极限的一般表达式 或 注: 代表相同的表达式 都是无穷小, 引例 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 第七节无穷小的比较 定义. 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于