2014届高考数学总复习第1讲几何证明选讲课件理新人教A版选修4-1.pptVIP

选修4－1 几何证明选讲 　不同寻常的一本书，不可不读哟！ 1个重要应用 射影定理的两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高，二者缺一不可；应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问题． 2点必须注意 1. 利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果． 2. 证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换． 3条必会思路 1. 判定三角形相似时，条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例． 2. 条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比． 3. 条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等. 1. 平行线截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段________，那么在其他直线上截得的线段________． (2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______． ②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必________． (3)平行线分线段成比例定理及其推论 ①三条平行线截两条直线，所得的对应线段________． ②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段________． 平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗？ 如图，在?ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，则BF∶FD等于________． 2．相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理 (2)相似三角形的性质定理 (1)Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与△ABC相似，则x的值为________． (2)如图所示，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB的中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是_______． 3. 直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理 (2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的________． 已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为________. 1. 相等　也相等　平分第三边　平分另一腰　成比例　成比例 想一想：提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边．该命题正确． 填一填：2∶5 例1　[2013·正定模拟]如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长． 奇思妙想：若本例中，“AB＝4AF，EH＝8，求DF的长”改为“HD＝2DF，BF＝3，求AB的长”，如何求解？ 例2　[2012·课标全国高考]如右图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. [审题视点]　(1)根据平行线关系和圆的弦中点，得到四边形为平行四边形，从而得到线平行，再由平行线性质即得．(2)根据平行转换，得到两三角形都为等腰三角形，再由角相等，即可得两三角形相似． [证明]　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD ＝AF. 因为CF∥AB，所以BC ＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD. 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，由GB＝BD知∠BGD＝∠BDG. 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. [变式探究]　如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为AD上一点，CF∥AB，BP延长线交AC，CF于点E，F，求证：PB2＝ PE·PF. [审题视点]　由三角形ABC为直角三角形，因此可以利用射影定理，寻找边AC与AD、AB之间的关系，同理可以得到边BC与BD、AB之间的关系，再根据△ADE∽△DBF，△ADE∽△ABC，得到有关比例式，最终得到所求证的结果． 奇思妙想：本例已知不变，求证：AC·CE＝BC·CF. 证明：∵CD⊥AB，∴△ADC为直角三角形， 又∵DE⊥AC，∴CD2＝CE·A