2011年数学高考题型突破：立体几何.pptVIP

易错警示 【例】设平面α与平面β的交线为 ,直线AB在平面α内,且AB⊥ ,垂足为B,直线CD垂直于平面β,且CD∥平面α. 求证:AB⊥平面β. 错解 如图1所示,∵CD⊥平面β,且CD∥平面α,而AB⊥ ,∴AB∥CD, ∴AB⊥平面β. 错解分析 错解仅将已知条件复述一遍,就直接从CD∥平面α,得出CD∥AB,这是没有根据的,犯了论据不足的错误. 正解 如图2所示,过CD及平面α内任一异于AB的点P作平面γ,设平面α与平面γ的交线为EF. ∵CD∥平面α,∴EF∥CD. ∵CD⊥平面β,∴EF⊥平面β,EF⊥ . ∵EF、AB均在平面α内,且EF、AB均与 垂直， ∴AB∥EF,而EF⊥平面β,∴AB⊥平面β. 考点演练 10. （2009·浙江）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是 . 解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA, 答案: 11. ABCABC是正三棱柱，底面边长为a,D、E分别为BB′、CC′上的点， BD= a,EC=a. (1)求证：平面ADE⊥平面ACCA；(2)求△ADE的面积. 解析：(1)如图，分别取AC,AC的中点M、N，连接MN， 则MN∥AA∥BB，∴B、M、N、B共面,BM⊥AC′. 又BM⊥AA,∴BM⊥平面AACC′. 设MN交AE于P， ∵CE=AC,∴PN=NA= a, 又BD= a,∴PN=BD.∵PN∥BD, ∴四边形PNBD是矩形，于是PD∥BN,又BN∥BM, ∴PD∥BM. ∵BM⊥平面ACCA, ∴PD⊥平面ACCA′, ∵PD平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACCA′. (2)∵PD⊥平面ACCA,∴PD⊥AE， ∵PD=BM= a,AE= a, ∴ = AE·PD= · a· 12. (2009·潍坊模拟)如图,正三棱柱ABC- 中,AB=2, =1, D是BC的中点,点P在平面 内, (1)求证: ⊥BC; (2)求证: ∥平面 ; (3)求证: ⊥平面 证明 (1)如图，取 的中点Q,连接 ,PQ, ∵△ 和△ 是等腰三角形, ∴ ⊥ , ⊥PQ, ∴ ⊥平面 , ∴ ⊥ . ∵BC∥ ,∴BC⊥ (2)连接BQ,在△ 中, , =2,Q为 中点, ∴PQ=1,∴ =PQ. 又∵ ⊥ ,PQ⊥ ,且 , ,PQ在同一平面内. ∴ ∥PQ,∴四边形 为平行四边形,∴ ∥BQ. ∵BD ,四边形 为平行四边形, ∴BQ∥ ,∴ 又∵ 面 ,∴ ∥平面 (3)在矩形 中,BC=2, =1,D为BC的中点, ∴∠ =90°,即 ∵平面ABC⊥平面 ,AD⊥BC,∴AD⊥平面 ∵ 平面 ∴AD⊥ ,∴ ⊥平面 第六节 空间向量及其运算 基础梳理 1. 空间向量及有关概念 (1)空间向量:在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模. (2)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量,在空间中,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作a∥b. 2. 空间向量的基本定理 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb . 推论:如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足 ,其中向量a叫做直线l的方向向量. (2)共面向量:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. (3)共面向量定理:如果两个向量a、b 不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数