2011年2月高等几何11.pptVIP

大约公元前7世纪，古代埃及的几何只是传入了希腊，希腊人把逻辑思想引进了几何学，使几何体系逐渐严格化，从而为几何学的系统化，公理化奠定了基础。这其中及其重要的人物——希腊数学家欧几里德起到尤为重要的作用，他借助于逻辑系统将几何知识整理起来，完成了数学历史上的光辉著作——《几何原本》。 欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。 据普罗克洛斯记载，亚历山大国王多 禄米曾师从欧几里德学习几何，有一次对 于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表 示不耐烦。 国王问道：“有没有比你的方法简捷一 些的学习几何学的途径？” 2）.欧几里德与妻子的“对话” 欧几里德将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作《已知数》和《几何原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。 全书共分13卷 欧氏几何公理体系大致分为五组，它们分别为： 第Ⅱ组：顺序公理（又称介于公理，共４条） 第Ⅰ组：关联公理（共８条） 第Ⅳ组：连续公理（共２条） 第Ⅴ组：平行公理（１条） 第Ⅲ组：合同公理（共５条） 欧氏几何公理体系 第Ⅰ组：关联公理(又称结合公理，共８条） ２.对于不同的两点，至多有一条通过它们的直线； ３.每条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一直线上； ４.对于任意不在同一条直线上的三个点，存在着通过每个点的平面；每平面上至少有一个点； ５.对于不在同一直线上的三点，至多有一平面经过这三点； ６.若直线a上有两点在平面上，则直线a在平面上； ７.若两平面有一个公共点，则它们至少有另一个公共点； ８.至少有四个点不在同一平面上。 １.对于不同的两点，恒有一直线通过其中的每个点； 第Ⅱ组：顺序公理（又称介于公理，共４条） １.若点Ｂ在点Ａ与Ｃ之间，则Ａ、Ｂ、Ｃ是直线上的不同三点，而且Ｂ也在Ｃ和Ａ之间。 ２.对于任意两点Ａ和Ｂ，直线AB上至少有一点Ｃ，使得Ｂ在Ａ和Ｃ之间。 ３.在一直线上的任意三个点里，至多有一点在其余两点之间。 ４.设Ａ、Ｂ、Ｃ不在同一直线上，直线a在平面ABC上但不过Ａ、Ｂ、Ｃ三点中任意一点，若a过直线AB的一点，则a必过AC的一个内点或BC的一个内点。 第Ⅲ组：合同公理（共５条） ５.对于两个三角形 ２.若两线段都合同于第三线段，则这两线段也合同。 ３.开线段(AB)、(BC)均在直线a上而无公共点，开线段 均在同一直线或另一直线 第Ⅳ组：连续公理（共２条） ２.（直线完备性公理）直线上的点所成的点集，连同其顺序 关系和合同关系，不能再行扩充，使扩充后仍然满足公理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ； 对于任何直线a和不在其上的任何点A，则在点A与直线a确定的平面上只有一直线通过点A而与直线a不相交。 第Ⅴ组：平行公理（欧氏平行公理） 也可叙述为：平面上，通过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 　 近代的公理化法思想应归功于德国数学家希尔伯特（D.Hilbert:1862-1943）。他于1889年出版了《几何学基础》，使几何学建立在严格的逻辑系统的基础上。 　 《几何原本》虽然是传布“古代公理化法思想”的范本，但是，用近代的观点来看，它在很多地方是有缺陷的。 　希尔伯特的近代公理化法思想简介： 该几何公理体系建立在基本概念和公理的基础之上。 所谓基本概念包括两部分： 一是：几何学的研究对象， 也称基本元素， 如点、线、面、体等。 二是：这些元素之间的关系， 称基本关系， 如结合、顺序、合同等。 而在任何一个几何体系中，都必须有若干个基本概念，他们是不再加以定义的概念。 而在任何一个几何体系中，都必须有若干个命题不可能给出逻辑的证明，这种基本命题就叫“公理” 。 若干个基本概念(包括基本元素和基本关系)和若干条公理，叫做一个公理体系，构成一种几何的基础。全部元素的集合构成这种几何的空间。 在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，这就是公理法思想。 公理体系是不能任意给定的，它必须满足下列三条要求： (1)相容性(或无矛盾性)： 即从这个公理体系出发，进行逻辑推理，不论推证多远