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Carathéodory Bounds for Integer Cones
´
Caratheodory Bounds for Integer Cones
Friedrich Eisenbrand, Gennady Shmonin
Max-Planck-Institut fur¨ Informatik
Stuhlsatzenhausweg 85
66123 Saarbruck¨ en
Germany
[eisen,shmonin]@mpi-inf.mpg.de
22nd September 2005
Abstract
Let b d be an integer conic combination of a finite set of integer vectors X d . In this note
we provide upper bounds on the size of a smallest subset X X such that b is an integer conic
combination of elements of X . We apply our bounds to general integer programming and to the
cutting stock problem and provide an NP certificate for the latter, whose existence has not been
known so far.
Keywords: Caratheodory’´ s Theorem; Integer Cone; Integer Programming; Cutting Stock; Bin Pack-
ing
1 Introduction
The conic hull of a finite set X d is the set
cone X λ x λ x t 0; x x X ; λ λ 0
1 1 t t 1 t 1 t
Caratheodory’´ s theorem (see, e.g. [7]) states that if b coneX , then b cone X , where X X is a
subset of X whose cardinality is bounded by the maximum number of linearly independent points of X
and thus is bounded by d .
The integer conic hull of a finite set X d is the set
int coneX λ x λ x t 0; x x X ; λ λ
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