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Twist - 国立大学法人鹿児岛大学工学部机械工学科
15.軸のねじり(Twist)
15-1.丸棒のねじり
(1)ねじりの変形とせん断ひずみ
右図のように、剛体壁に取り付けら
れた長さ l、半径R の丸棒について、
軸の中心のまわりにねじりモーメン
ト T が作用すると、丸棒の外面にお
いて B 点が C 点に変位する。
このとき∠BAC を とすると、
BC AB tan l tan
である。一方せん断ひずみの定義よ
り、外周でのせん断ひずみをR とす
ると、
BC
R tan
AB
弾性変形ではBC AB なので、
R tan B
としてよい。 B’
C R
次に丸棒の断面について考えると、 R r
C’
BC R
であるから、外周でのせん断ひずみは
BC R
R
AB l
である。
以上より、
R
R
l
を得る。 をねじれ角(ねじり角)という。棒の単位長さあたりのねじれ角
l
を比ねじれ角(比ねじり角)と言い、これを用いると、
R R
である。
丸棒の断面において、中心から r の位置では、せん断変位は
B C r
であるから、せん断ひずみは
B C r
r
l l
と書ける。これから、せん断ひずみは半径に比例して大きくなることがわかる。
(2)せん断応力とトルク
フックの法則より、せん断応力は、G を剛
性率(横弾性係数)とすると
G
なので、
r
G G Gr
l
を得る。
次に断面に働くモーメントを考える。ねじり
の場合、モーメントはトルクと呼ばれ、T であ
らわすことにする。
断面において、径 r から r + dr、及び角度から + dの間にある微小要素の面積を dA と
すると、周方向にdA の力が作用する。この力による微小トルクは
dT dA r rdA
である。 Gr であったから、上の微小トルクは
2
dT G r dA
であり、全断面積について足し合わせて、トルクは
2
T dT G r dA
A A
となる。このとき、断面二次極モーメントを
2
I r dA
P
A
で定義すると、トルクと比ねじれ角の関係は
T
T GI P あるいは、
GI
P
で与えられる。一方、
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