2017版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形45两角和与差的正弦余弦和正切公式理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin β　(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sinαcosα； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan αtan β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　) (3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　) (5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　√　) 1．已知sin α＋cos α＝，则sin 2＝ . 答案　 解析　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝， 解得sin 2α＝－， 所以sin2 ＝＝ ＝＝. 2．若＝，则tan 2α＝ . 答案　 解析　由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝＝. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . 答案　 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案　 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝. 5．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为 ． 答案　 解析　∵α为锐角，cos(α＋)＝， ∴α＋∈， ∴sin(α＋)＝， ∴sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝， ∴cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝， ∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－) ＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝. 题型一　三角函数公式的基本应用 例1　 (1)已知sin α＝，α∈(，π)，则＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 ． 答案　(1)－　(2) 解析　(1) ＝ ＝cos α－sin α， ∵sin α＝，α∈， ∴cos α＝－. ∴原式＝－. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－， 又α∈， ∴sin α＝，tan α＝－， ∴tan 2α＝＝＝. 思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 　(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sin α＝ . (2)已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)的值是 ． 答案　(1)　(2)－1 解析　(1)∵tan(α＋)＝＝， ∴tan α＝－＝， ∴cos α＝－sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝. 又∵α∈(，π)，∴sin α＝. (2)cos x＋cos(x－) ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x ＝(cos x＋sin x) ＝cos(x－)＝－1. 题型二　三角函数公式的灵活应用 例2　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x