廖老师千题解答1-50.doc

廖老师在人教论坛的千题解答习题集 １、某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上６时起到晚上22时止供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水10吨，工业用水w(吨)与时间t(小时，定义早上６时为t=0)的函数关系式为， 水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨。若每天水塔原有水10０吨，在供水的同时，打开进水管，问进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中的水不空)，又不会溢出？ 解：从早上6点开始t小时的总用水量为y吨。 则 设第n级的从早上6点开始t小时的供水量为吨。 依题意且 ， 对恒成立 当 设=() 定义域是，对称轴是 ＝，， 且，解得，　 2、请问 ?R属不属{R}呢？ ??答：R是集合{R}的元素，?R属于{R}3、已知直线l在y轴上的截距为-2,l上横坐标分别为3,-4的两点的线段长为14,求直线l的方程. 已知直线l在y轴上的截距为-2，l上横坐标分别为3、-4的两点的线段长为14,求直线l的方程。 解：设直线的方程为 上横坐标为3、-4的两点是、 ， 4、设函数，，在f(x)和g(x)的公共定义域内，比较和的大小解：由 ， 已知A={(x,y)|y=x2+ax+2}，B={(x,y)|y=x+1,0≤x≤2},A∩B≠ ,求实数a的取值范围。 解：消去y得 (1)， 当x＝0时，方程(1)无解 当时，方程(1)化为， ， 综上实数a的取值范围是 ６、求的值域 解：由于是可设， 则， 7、已知， 求证： 证法１：先证0，（*） 当n=1时 ∵02， ∴当n=1时（*）式成立 假设当n=k时（*）式成立即0， 则当n=k+1时 ∵， ∴0， 设 = 注意， = 1 因此当n为偶数时：(-1)a1 +(-1)2a2+…+(-1)nan1成立 当n为偶奇数时多了个负加数因此原式也成立，故原命题总成立 8、已知：一三角形的两条角平分线相等，问此三角形是否为等腰三角形，如何反证法：假设ACAB，则， 过点E作，则CDFE是平行四边行 因此,于是 (1) 在中， 假设ACAB,同理可得矛盾 综上AC＝AB 9、已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别是3，4，5，且这三条线段两两垂直，求球半径 解：补成长方体，设球半径为R 则10、已知关于x的实系数二次方程有两实根α 、β.证明:(1)如果|α|2,|β|2,那么2|a|4+b,且|b|4;(2)如果2|a|4+b,且|b|4,那么如果|α|2,|β|2. 证明(Ⅰ) │α│2,│β│2. │b│=|αβ│4. │α│2,│β│2. 方程x2+ax+b＝0的两根都在区间（-2，2）内 因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上, ∴│2a│4+b，即2│a│4+b (2)2│a│4+b， |b|4 ，|αβ│4　由韦达定理得， ， （与|αβ│4矛盾，舍去），或 即|α|2,|β|2. 11、已知,求＿＿＿＿＿＿。 12、求证：无论n取何值， 证明：设 13、设数列的前项和为，且其中是不等于和0的实常数.求证: 为等比数列；设数列的公比，数列满足试写出 的通项公式，并求的结果，所以是等比数列 （2），所以是等差数列， （3） 13、设数列的前项和为，且其中是不等于和0的实常数.求证: 为等比数列；设数列的公比，数列满足试写出 的通项公式，并求的结果，所以是等比数列 （2），所以是等差数列， （3） 14、设数列的前项和为，且，求的通项公式； 解： 15、15、已知三角形ABC ,求证： 提示：用琴生不等式 设，若是区间上的上凸函数，则 若是区间上的下凸函数，则 16、已知：求证： 证法1：（高考）设，，则，， = 证法2：（竟赛） 17、工厂的质量检验车间积压着部分产品待检,与此同时,流水线传送带按一定速度送来待检验产品,如果打开一部质检机,需半个小时可使待检产品全部通过质量检验,同时打开两部质检机,只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产需要,在5分钟内将待检产品全部通过质量检验,此时最少要打开几部质检机?解：设一部质检机1分钟检验1份产品则半个小时可使检验30份产品两部质检机,只需10分钟可使检验20份产品相减得：10份产品，这是20分钟流水线传送带送来的新产品所以，传送带1分钟送来新产品0.5份，积压着部分产品有30-0.5×30＝15（份）5分钟之内要检验15+0.5×5＝17.5因此要用质检机17.5÷5＝3.5（部）答：至少要4部18、设集合，，，，求、的值 解： 因， 故，或，或 （1）当时 （2）当时 （3）当时 19、用特征方程求通项 引例：已知数列,满足关系(、是常数),、是方程的不等的实根两根求证: (1)数列是以为