3.3三角函数的积化和差与和差化积.ppt

* 3．3　 三角函数的积化和差与和差化积 　 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．三角函数的积化和差． 2．三角函数的和差化积． (二)能力训练点 1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的． 2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视． (三)德育渗透点 数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机． 二、教学重点、难点 1．教学重点：理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化和差与和差化积公式的推导过程， 并能用它们解决一些实际问题， 以及用好用活 2．教学难点： (1)公式的推导． (2)公式的应用． (3)三角式的恒等变换的一般规律． 三、课时安排 4课时． 四、教与学过程的设计 第一课时　 三角函数的积化和差 　 (一)复习和、差角的正弦与余弦公式 师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式，请问学生回忆一下这些三角公式的推导，变换过程． 生：所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的． 师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式． (二)引入新课 请学生说出正、余弦的和差角公式(板书) sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4) 师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来． 生1：把(1)式与(2)式相加可得 sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ． 生2：把(1)式与(2)式相减可得 sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ． 师：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到： cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ， cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ． 师：若把这四个关系式整理一下，即可得到 以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式． 积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用．现在请同学们先翻开课本P．227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)． 师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例题． 例题　 求sin75°·cos15°的值． 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？ 生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之． 师：很好，用我们刚刚学过的积化和差公式可以很方便地解决这个问题，请大家想想是否还有其他解法？ 生2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的解法． 生3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了． 师：从这个例题的几种解法，我们可以看出，三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决．现在，请同学们取出课堂练习本，完成以下的几个练习． (三)课堂练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值， 2．求cos37.5°·cos22.5°的值， 学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演． 练习题解法： 1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°