已知正方形ABCD中E为对角线BD上一点过E点作EF.docxVIP

【011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴ CG= FD．………1分同理，在Rt△DEF中，EG= FD．…………2分∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴△MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分【012】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．【012】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，．点在抛物线上，将的坐标代入，得：解之，得：抛物线的解析式为：．4分（2）抛物线的对称轴为，．6分连结，，，又，，．8分（3）点在抛物线上．9分设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：．10分过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：．点的坐标为，当时，，所以，点在抛物线上．12分【013】如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．【013】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．将，代入，得解得此抛物线的解析式为．（3分）（2）存在．（4分）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，，．又，①当时，，即．解得（舍去），．（6分）②当时，，即．解得，（均不合题意，舍去）当时，．（7分）类似地可求出当时，．（8分）当时，．综上所述，符合条件的点为或或．（9分）（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．过作轴的平行线交于．由题意可求得直线的解析式为．（10分）点的坐标为．．（11分）．当时，面积最大．．（13分）【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.【014】（1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，∴旋转了.∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分（2）解：∵∥，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为.……………………………………………8分（3）答：值无变化. 证明：延长交轴于点，则，，∴.又∵，.∴.∴. 又∵,, ∴.∴.∴，∴.∴在旋转正方形的过程中，值无变化.……………12分【015】如图，二次函数的