第二十一章 数值分析NumericalAnalysis.ppt

数值分析Numerical Analysis  主讲教师： 张智丰 Instructor: Zhang Zhifeng E-mail: zfzhang@hdu.edu.cn 第一章 绪 论 1.1 数值分析的研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.1 数值分析的研究对象与特点 解决现代工程技术问题的基本过程如左图 数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法。 数值分析的特点： 第一、面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的算法。 第二、有可靠的理论分析，数值分析中的算法理论主要是连续系统的离散型方程数值求解。 第三、有良好的复杂性及数值试验可重复性。复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。 第四、有数值实验。 两组数学模型的计算问题 例1.1 求解线性方程组 ，其中 为3阶可逆方阵， ； 第三、有良好的复杂性及数值试验可重复性。复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。 第四、有数值实验。 两组数学模型的计算问题 例1.1 求解线性方程组 ，其中 为3阶可逆方阵， ； 求代数方程组 在 上的根 ； 已知 为 上的直线，满足 ， ， ，求 ； 两组数学模型的计算问题 计算定积分 解常微分方程初值问题 求代数方程组 在 上的 根 ； 已知 为 上的直线，满足 ， ， ，求 ； 计算定积分 解常微分方程初值问题 本课程的主要内容 误差理论 插值法 曲线拟合 数值积分与数值微分 线性方程组的直接法 线性方程组的迭代法 非线性方程求根 常微分方程初值问题的数值解 学习本课程需要的基础 微积分（数学分析） 线性代数（高等代数） 1.2 数值计算的误差 1.2.1误差的来源与分类 1.2.2误差与有效数字 1.2.3函数计算的误差估计 1.2.1误差的来源与分类 分类 测量误差或观测误差 由数据观测产生的误差 模型误差 数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差 截断误差或方法误差 由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起 舍入误差 计算机实现计算时，机器的有限字长所造成 1.2.2 误差与有效数字 定义1 设 是某量的准确值， 是 的一个近似值，则称 为近似值的误差或绝对误差。 的绝对值的上界，即满足 的 ， 称为近似值 的误差限。 误差与精确值的比值称为相对误差。即 ，如果 ，则 称为相对误差限。 实际使用中以 为相对误差。 1.2.2 误差与有效数字 设有两个量, ， 则有 虽然 比 大4倍，但 比 要小的多。 误差与精确值的比值称为相对误差。即 ，如果 ，则 称为相对误差限。 实际使用中以 为相对误差。 例题1 设有两个量, ， 则有 虽然 比 大4倍，但 比 要小的多。 例题2 当准确值 有多位数时，常常按四舍五入的原则得到 的前几位近似值 ，如 取3位， 取5位， 它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即： 例题2 若近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 ，则称 有 位有效数字，其数学表示为： 取5位， 它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即： 有效数字的定义 若近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 ，则称 有 位有效数字，其数学表示为： 其中 为0~9中的一个数字，且 ，m为整数，且 例题3 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似