第三章 傅里叶报告.doc

傅里叶分析 3.1 傅里叶变换概述 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT） 其傅里叶变换公式为： 正变换 反变换 时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS） 周期为T的周期性连续时间函数x(t)可展开成傅里叶级数，其系数为X(jkΩ0)，X(jkΩ0)是离散频率的非周期函数。x(t)和X(jkΩ0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 反变换 式中，k——谐波序号； Ω0=2π/T——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔； 时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT） DTFT的定义 序列的傅里叶变换公式为： 正变换 反变换 注意：序列x(n)只有当n为整数时才有意义，否则没有定义。 由于存在关系 因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z变换。 时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。 DTFT的性质 线性定理 时移定理 频移定理 卷积定理 注意：此处的卷积又称为线性卷积。 时域卷积定理 若，则 复习：序列的运算 序列的运算包括翻褶、移位、和、积等。 翻褶 如果序列为x(n)，则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。 移位 如果序列为x(n)，当m为正时，则序列x(n+m)是指将序列x(n)依次逐项左移m位；当m为负时，则右移m位。 和 两序列的和是指同序号（n）的序列值逐项对应相加。 积 两序列的积是指同序号（n）的序列值逐项对应相乘。 线性卷积的几何意义： 若两序列x(n)和h(n)的卷积和定义为 则卷积的运算过程包含以下四步： 翻褶：先在坐标系上作出h(m)，将h(m)以m=0的纵轴为对称轴翻褶成h(-m)； 移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)； 注意： h(-m) 与h(m)的移位规律恰好相反，当n为正时，则右移n位；当n为负时，则左移n位。 相乘：再将相同m值所对应的h(n-m)和x(m)值相乘； 相加：将上述所有对应点的乘积叠加，即得y(n)值； 依次取n=…，-2，-1，0，1，2，…，即可得到全部的y(n)值。 频域卷积定理 若，则 上述两个定理表明：离散时间序列的时域卷积对应频域相乘，而时域相乘则对应其频域卷积。 Parseval（帕塞瓦）定理 Parseval定理表明：信号在时域的总能量就等于其频域的总能量。 时间离散、频率离散的傅里叶变换——离散傅里叶变换（DFT） 结论：一个域（时域或频域）的离散化必然造成另一个域的周期延拓。 3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） DFS的定义 周期序列的概念 设是周期为N的一个周期序列，即 ， r为任意整数 因为在任何z值下，周期序列z变换的和式都不收敛，也就是说，周期序列不是绝对可和的，所以不能用z变换表示。 但是，和连续时间周期信号一样，周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，也就是用周期为N的复指数序列来表示。 周期序列的离散傅里叶级数变换对 数学推导（略，参见教材P98~99） 结论 通过推导可见，周期序列与其离散傅里叶级数的系数组成一个变换对，且也是一个周期为N的周期序列。 一般，采用符号 ， 则周期序列的离散傅里叶级数变换公式为： 正变换 反变换 的性质 周期性 对称性 正交性（重点强调） DFS的性质 设和均是周期为N的周期序列，且有 ， 线性性质 移位性质 （时移） （频移，又称调制特性） 周期卷积 时域卷积 若，则 注意：此处的卷积为周期卷积。它和前面所介绍的非周期序列的线性卷积的区别在于：参与周期卷积运算的两个序列都是周期为N的周期序列，则其卷积结果仍是一个以N为周期的周期序列；求和运算只在一个周期（m=0~N-1）的范围内进行。 周期卷积的运算过程（参见图3.2.2）： 运算在m=0~N-1区间内进行，先计算出n=0，1，…，N-1的卷积结果，然后将所得的结果进行周期延拓，即可得到所求的整个周期序列。 注意：计算过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间。 频域卷积 由于DFS和IDFS的对称性，同样可以证明：时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积，即： 若，则 3.3 离散傅里叶变换（DFT） DFT的定义 有限长序列和周期序列的关系 有限长序列