信号与系统2008第1章3讲摘要.ppt

2、任意函数 用一系列阶跃函数之和近似表示任意函数 f(0) f(t) k?t ?t 2?t t 0 第一个阶跃f0(t)在 t=0时刻加入。 f1(t)在t=?t时刻加入，高度为?f(t)=f(?t)-f(0)。 f(0) f(t) k?t ?t 2?t t 同理，t=k?t处应迭加一高度为?f(t)=f(k?t)-f(k?t- ?t)的阶跃函数，即 迭加f0(t), f1(t),.. fk(t),…, fn(t)，成为一阶梯形函数，近似表示f(t)。 Signal and system 一、信号的基函数表示法 希望用统一的形式来表示任意信号： 数学上证明可以用一组基函数的线性组合来表示信号 n=0,±1, ±2… (1.3—1) 就变成了如何选择最佳的 基函数?n(t),和确 定相应的系数an的问题了。 复习 在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足条件： 则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数。 如果系数要满足终结性，在表示式成立的时间 区间内， 要求基函数集? n(t),是正交函数集。 二、正交函数 32 正交函数集： 定义：在[t1,t2]区间上定义的n个非零实函数集 g1(t), g2(t) ,…,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、 gj(t)均满足： 其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集 33 任意一个函数f(t)在区间[t1,t2]内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示： 在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,…,cn： 34 令 则： 37 常用的完备正交函数集: 1、三角函数集： 函数1，cos?t,cos2?t, …,cosn?t,...,sin?t, sin2?t,… ,sinn?t,…, 当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内组成完备正交函数集。其中T=2?/? 2、复指数函数集： 函数集ejn?t,n=0,±1, ±2,…,是一个复变函数集，在区间[t0，t0+T]内是完备正交函数集。 36 所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示： 此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。 表示常用信号的连续函数 正弦函数 指数函数 抽样函数 钟形脉冲函数（高斯函数） 三、基本信号及其时域特性 2、单位阶跃函数 3、单位冲激函数?(t) 4、单位冲激偶?(t) 1、单位斜坡函数 奇异信号 有简单的数学形式，但其本身、或其导数、 或其积分有不连续点。 1、单位斜坡函数 R(t) 1 1 t 1 t0 t R(t-t0) 如果将起始点移至t0，则 返回 2、单位阶跃函数 1 0 u(t) t 1 0 u(t-t0) t t0 若跳变点移至t0，则 单位阶跃函数的特性： 单位阶跃函数的接入特性： 信号在t0时刻接入： sin?t?u(t) 0 t sin?（t)?u(t-t0) t t0 0 3、单位冲激函数?(t) 矩形脉冲演变为冲激函数 t G(t) 0 ??0 t 0 (1) ?(t) 狄拉克（Dirac）定义 满足狄拉克条件： 若冲激点在t=t0处，则定义式为： t 0 (1) ?(t-t0) t0 t 0 (1) ?(t) 单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数 连续函数f(t)与单位冲激函数的乘积等于冲 激点的函数值与?(t)相乘 若冲激点在t0处，且f(t)在t0处连续，则 筛选特性：单位冲激函数与连续函数f(t) 的乘积的积分等于冲激点的函数值 或 奇偶性： 返回 尺度变换： 证明： 1、当a0时，令?=at 1、当a0时，令?=-at 4、单位冲激偶?(t) 定义：单位冲激偶就是单位冲激函数的导数，表达式为： 它在t=0处有一对正负冲激函数，其强度都为无穷大。 利用矩形脉冲取极限的方法，可导出上述结果: ?(t)可以看作脉宽为?，幅值为1/?的门函数G(t)当??0时的极限。 ?‘(t) 可以看作G(t)求导后，再取当??0时的极限。 求导得 t G(t) 0 t 0 (1) ?(t) ??0 求导 ??0 t G(t) 0 t 0 (?) ?(t) 单位冲激偶的特性： 1、单位冲激偶的积分等于单位冲激函数： 2、单位冲激偶的抽样特性： 证明：利用分部积分法： 推广： 3、单位冲激偶是奇函数： 由定义可见，?‘(t)是奇函数，所以包含面积为0。 返回 奇异函数的综合： 1、R(t)的导数是u(t)； u(t)的导数是?(t)； ?(t)的导数是?’(t)。 2、 u(t)是物理量的单位跃变的抽象 3、 ?(t)是物理量产生单位跃变速度的抽象 4、 ?‘(