导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例文.doc

考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 1.已知曲线（ ） A. B. C. D. 【解析】选D.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得 2.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是　(　　) 【解析】选B.因为f(x)0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x∈(-1,0)时,f(x)为增函数,x∈(0,1)时,f(x)为减函数,所以选B. 3.设函数. 若实数a, b满足, 则 A. B. C. D. 【解析】选A. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，，故在上也是单调递增的，由 知，所以，，因此。 4.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(　　)　 A. B. C. D. 【解析】选D.因为f(x)在(1,+∞)上递增,所以f(x)≥0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f(x)=k-≥0.即k≥1.所以k∈[1,+∞),选D 5.若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= 　 . 【解析】对y=ax2-lnx求导得,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为,解得. 【答案】. 6.已知函数 （I）求； （II）若 【解析】（I）当时，，. 令，得，. 当时，，在是增函数； 当时，，在是减函数； 当时，，在是增函数. （II）由得. 当，时，， 所以在是增函数，于是当时，. 综上，的取值范围是. 7.已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. （1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。 （2）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。 【解析】（1）， 由线在处的切线为，因此，， 于是， 解得。 （2）由（1）知，于是当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极小值1. 因此b的取值范围为。 8.已知函数（,为自然对数的底数）.（I）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值; （II）求函数的极值; （III）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值. 【解析】方法一：（Ⅰ）由，得． 又曲线在点处的切线平行于轴， 得，即，解得． （Ⅱ）， ①当时，，为上的增函数，所以函数无极值． ②当时，令，得，． ，；，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，且极小值为，无极大值． 综上，当时，函数无极小值； 当，在处取得极小值，无极大值． （Ⅲ）当时， 令， 则直线：与曲线没有公共点， 等价于方程在上没有实数解． 假设，此时，， 又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故． 又时，，知方程在上没有实数解．所以的最大值为． 法二： （Ⅰ）（Ⅱ）同解法一． （Ⅲ）当时，． 直线：与曲线没有公共点， 等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程： （*）在上没有实数解． ①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解． ②当时，方程（*）化为． 令，则有． 令，得， 当变化时，的变化情况如下表： 当时，，同时当趋于时，趋于， 从而的取值范围为．所以当时，方程（*）无实数解， 解得的取值范围是． 综上，得的最大值为． ． (1) 当时,求函数的单调区间； (2) 当时,求函数在上的最小值和最大值． 【解析】对函数求导得. (1)当时，由可知,在上单调递增. （2）方法一：当时，，其图像开口向上，对称轴 ，且过点 （i，即时，，上单调递增，从而当时， 取得最小值，当时，取得最大值. （ii，即时，解得，注意到. 因为，所以的最小值，所以的最值时，的最小值,最值时，对，都有，故； ，故. 又，，所以，. 10.已知函数. (Ⅰ)设，求的单调区间； (Ⅱ) 设，且对于任意，.试比较与的大小. 【解析】（Ⅰ）由，得. （1）当时， ①若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是 ②若，当时，，函数的单调递减， 当时，，函数的单调递增， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）当时，， 得， 由得 显然， 当时，，函数的单调递减， 当时，，函数的单调递增， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 综上所述：当，时，函数的单调递减区间是 当，时，函数的单调递减区