第11章 差错控制编码6.ppt

通 信 原 理 电 子 教 案第11章 差错控制编码 西 北 工 业 大 学 （2010.6） 11.1 引言一、编码问题的提出 由于数字信号在传输过程中必不可免的受到干扰的影响，使码元波形变坏，故传输到接收端后可能发生错判。 11.2 纠错编码的基本原理一. 基本思想 11.4 常用的简单编码 －－属于分组码一类。简单、实用。11.4.1 奇偶监督码满足: 11.6 循环码 －－仍属于线性分组码特点: 编译码设备简单，检纠错能力强。11.6.1 循环码的原理具有线性分组码的所有性质之外，还具有循环性：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。 一般形式: A = [ an-1an-2…ar] G 3. G 和 H 的关系 由 Q = PT 或 P = QT 则 : H = [ P · Ir ] G = [ Ik · Q ] 综上：线性分组码的编码，就是根据其监督阵H或生成阵G将长为k的信息码编成长为n的码组。 4. 线性分组码的纠错译码过程 －－怎样由含有错误的接收码组中的接收码组中恢复正确。 （1）错误图样 设：发码组为A , 接受码组为B 则 B – A = E ( 模 2 )－－错误行阵或错误图样： E=[ en-1en-2……e0 ] 例: A = [ 1 1 1 1 1 1 1 ] B = [ 1 0 0 1 1 0 1 ] 则 E = [ 0 1 1 0 0 1 0 ] （2）校正子（或称译码伴随式） B = A+E 代入上式，得 结论：校正子S仅于错误图案有关，与发送码组无关。 由收到的码组B，按式：BHT=S→S 由 S=EHT → E 按B+E=A → A 由A →原始信息 （3）纠错译码过程 5. 线性分组码的重要性质 （1）封闭性 设： A1、A2 分别为一线性分组码的任意两个许用码组。 则：A1+A2 仍为该线性分组码的许用码组。 证：由假设知 A1HT=0、A2HT=0 所以 A1HT+A2HT=（A1+A2）HT＝0 即A1+A2也是一个码组。 结论：线性码组中任意两个码字之和，仍为该线性码组之码字。 （2）线性分组码的最小码距即为该码的最小重量: d0=Wmin（除全0码组） 证：由封闭性得，两个码组之间的距离（之差），必是另一码组的重量。故最小码距即是码的最小重量！ 码多项式 T(x) （1）定义 －－为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项是来表示，这个多项式被称为码多项式。 设：许用循环码A=(an-1 an-2 … a1 a0)， 则：它的码多项式表示为： 其中：xi仅是码元位置的标记。 码字与码多项式一一对应！ 例: 设 ( 7,3 ) 循环码组为 ( 0 1 1 1 0 0 1 ) 则相应码多项式为： 反之，由码多项式易得出码组：( 0 1 1 1 0 0 1 ) －－可由码组直接写出。 （2）码多项式的按模运算 1）整数的按模运算 若一个整数m可以表示为: 则在模n运算下，有m≡p（模n）。 例： 同样对于多项式而言，也有类似按模运算。 其中：商Q(x)为多项式，余数R(x)的幂次低于N(x)的幂次。 例: 求 x4+x2+1 按模 x3+1 运算的余式 R(x) 2）码多项式的按模运算 若 则 3）循环性 在循环码中，若T(x) 是一个长为n的许用码组，则xiT(x) 在按模xn+1运算下，亦是一个许用码组。即 设： T(x) 是长为n的许用码组多项式 则： T’(x)仍为该码组中的一个码多项式。 例: （7，3）码 T(x) = x6+x5+x2+1 ( 1 1 0 0 1 0 1) －－前码组循环左移3位！ 由此类推 可见：一个长为n的循环码，必为按模（xn+1）运算的一个余式。－－“模”运算过了。 2. 生成多项式g(x) （1）存在性 ( n，k ) 循环码中有且仅有一个g(x) g(x)=xn-k+……+1 特点: 最高的次数: n-k=r； 最高次项和常数项系数必为1 。 在循环码中，除了全0码组外，再也没有连续k位均为0的码组。即连0长度最多为k-1位！ 这唯一的n-k次多项式称为生成多项式，记为g(x)！ （