15年高考真题——理科数学(北京卷).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷 一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1．复数（ ） （A） （B） （C） （D） 2．若满足，则的最大值为（ ） （A）0 （B）1 （C） （D）2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） （A） （B） （C） （D） 4．设是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）5 6．设是等差数列，下列结论中正确的是（ ） （A）若，则 QUOTE （B）若，则 QUOTE （C）若，则 QUOTE （D）若，则 7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（ ） （A）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 （B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 （C）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 （D）某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二．填空题：共6题，每小题5分，共30分。 9．在的展开式中，的系数为_________。（用数字作答） 10．已知双曲线的一条渐近线为，则________。 11．在极坐标系中，点到直线的距离为__________。 12．在中，，，，则__________。 13．在中，点满足，。若，则 ； 。 14．设，①若，则的最小值为__________；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________。 三．解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数。 = 1 \* GB2 ⑴求的最小正周期； = 2 \* GB2 ⑵求在区间上的最小值。 16．（本小题共13分）两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：；组：。假设所有病人的康复时间互相独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙。 = 1 \* GB2 ⑴求甲的康复时间不少于14天的概率； = 2 \* GB2 ⑵如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； = 3 \* GB2 ⑶当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点。 = 1 \* GB2 ⑴求证：； = 2 \* GB2 ⑵求二面角的余弦值； = 3 \* GB2 ⑶若平面，求的值。 18．（本小题共13分）已知函数， = 1 \* GB2 ⑴求曲线在点处的切线方程； = 2 \* GB2 ⑵求证：当时，； = 3 \* GB2 ⑶设实数使得对恒成立，求的最大值。 19．（本小题共14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点。 = 1 \* GB2 ⑴求椭圆的离心率，并求点的坐标（用表示）； = 2 \* GB2 ⑵设为原点，若点与点关于轴对称，直线交轴于点。问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由。 20．（本小题共13分）已知数列满足：，，且。记集合。 = 1 \* GB2 ⑴若，写出集合的所有元素； = 2 \* GB2 ⑵若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； = 3 \* GB2 ⑶求集合的元素个数的最大值。 2015年普通高校招生全国统考数学试卷（北京卷）解答 一． ADBBC CCD 二．9．40；10．；11．1；12．1；13．；14． = 1 \* GB3 ①1， = 2 \* GB3 ② 15．解： = 1 \* GB2 ⑴由题，故的最小正周期为； = 2 \* GB2 ⑵因，故。因此当即时，取得最小值。 16．解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，。由题可知。 = 1 \* GB2 ⑴由题知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是组的第5人或第6人或第7人”。所以所求概率为； = 2