金融经济学第二章 (2).pptVIP

（3） （4） （5） 不同函数的性质 （1）二次效用函数 拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到了风险资产定价的线性表达式。 但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富水平后，个体收入的边际效用为负值。 对前述（2）中的二次函数中的财富W求导： 因此，只有W在[0，1/b]时，个体的边际效用才会 大于零。 该函数的A-P绝对风险厌恶系数为： 对W求导， 这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其 财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。 （2）负指数效用函数 如果个体的效用函数为负指数效用函数，则他对风险的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为常数： 这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的影响。 （3）幂函数效用函数的性质 幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。 （4）对数函数效用函数的性质 对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且等于1。 D、风险厌恶的比较 Pratt-Arrow定义风险溢价假设风险小和公平的。 Markowitz的定义仅仅比较 例：个体具有对数效用函数，财富水平$20,000。 面临风险： 50/50机会赢或输$10。 80%机会输$1,000，20%机会输$10,000。 情形1 情形2 Pratt-Arrow风险溢价 $0.0025 $324 Markowitz溢价 $0.0025002 $489 期望财富 $20,000 $17,200 确定性等价财富 $19,999.997499 $16,711 风险厌恶测度的比较： 对于小的且公平投机的风险，二者非常接近，而对于大的且非对称的风险，Markowitz对风险溢价的侧度要大一些。 普拉特定理 对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度： （1）绝对风险厌恶度量 对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立， 则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险： （2）风险溢价度量 对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主体i比经济主体j更厌恶风险： （3）效用函数的曲率 从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加j厌恶风险,则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数 是经济行为主体j的效用函数 的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数G(·)，使得 对于任意的W都成立： （4）普拉特定理 假设 是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的： 对所有的W，有 ； 存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(·)，使得 ； 任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即 E、随机占优 一阶随机占优 资产（组合）x随机占优另一个资产y，若在每一 个状态下个体从资产x获得的收益多于资产y。数学 定义为 X一阶随机占优y?对所有具有连续递增(边际效用非 负）的效用函数U的投资者对x的偏好胜过y，即 EU(x)?EU(y) 2、二阶随机占优 x二阶随机占优y， 或如果所有具有连续效用函数的风险厌恶投资者 （即 ）偏好x胜过y，即EU(x)?EU(y)。 w f(w) w F(w) fx(w) gy(w) 1 0.5 ? x ?y w w f(w) F(w) fx(w) gy(w) Gy(w) Fx(w) ? x= ?y 例：如图两个资产服从正态分布： x二阶随机占优y?? x= ?y且?y?x 一般： x二阶随机占优y?? x= ?y且?y?x ? x= ?y且?y?x ?y不是随机占优x。 F、均值——方差准则 假定资产收益服从正态分布，因此收益完全由它的均值、方差决定。 收益率与财富的关系 期望效用函数： 作变换 得 无差异曲线的斜率 ?R E(R) ?* A B C 无差异曲线表示