“x^2+(q p)y^2=z^2(p,q∈N)”整数通解及其应用.pdf

维普资讯 中小学数学 ·教师版 2003年第7、8期 例 1 在边长为 lcm D 连接 0lN，又将拼成 的图形分割成扇形 0lBN和直角 的正五边形 内，去掉所有 梯形 020lNC，易知 NOlB=30~，从而可求得扇形 与正五边形各顶点距离都 C OiBN的面积为÷．扇形02D。c的面积为÷．直角 小于 lcm的点 ，求余 下部 分 的面积 ． 梯形 02o。NC的面积为 ，这样就可以求得 阴影 解 如 图3，以 A为 圆心 lcm长为半径 的扇形 A 部分的面积为+譬+1． 内的点 到点 A 的 图 3 例 3 如 图5，在正方 距离都小于 lcm，同理 ，分 形 ABCD 中，AB=2，M，N 别以正五边形其他几个顶点为圆心，1cm长为半径作 分别是BC，AD 的中点．以 弧 ，以五段弧P9，QR，RM，MN，NP，为边界的曲边五边 为圆心，AB为半径画弧 ／’、 形 PQRMN 内的点到正五边形ABCDE各个顶点的距离 AC，以JIf为圆心，BC为半 都小于 lcm，所 以除去这个 曲边五边形后 ，正五边形余 径在正方形 内作半 圆．求 下的部分是 BRMC，CMND，DNPE，EPQA，A9船 ．所 以 该 图形 中阴影部 分 的面 求余下部分的面积只需先求出这些 曲边形的面积即 积 ． 图5 可 ．容易知道五个 曲边形是全等 的，也就是只需求出一 分析 由正方形和 圆的轴对称性可 以推 出ANP 个曲边形 的面积 问题就可 以解决了． 和 CFQ是全等图形 (，是CD的中点)，因此在阴影 图 如何求 曲边形 的面积呢? 以曲边形 BRMC为例 ． 形 中先补上 CFQ．连 即 ，BE，8Q，再补上三角形 BEP 不妨先补上 以 BAM为 圆心角的扇形 BAM ，这样 和BEHC，割去 ANP，此时剩下的图形就是扇形 c． 一 来，要求 s曲删 c变成只需求 曲边形ABCMA的面积再 在扇形 BPQ中剖去ABEP和ABEQ，就剩下曲边 割去扇形 ABRM 的面积即可 ． △EPQ的面积 ． 连结 MB，则将 曲边形 ABCMA分割成两部分—— 在正方形 MEFC中，割去扇形 MEHC剩下的就是 正三角形 MAB和扇形BCM，显然这两部分面积容易求 图形 CHEQFC的面积 ． 出．这样通过先补后割就可以求 出曲边形 ABCMA的面