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数理统计基本知识 §6.1 总体与样本 6.1.1 总体与个体 在概率统计中，我们把对某个问题研究对象全体组成的集合称为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体，例如，某班的全体学生构成一个总体，则每个学生为个体。在处理实际问题时，人们关心的不是总体中每个个体的特殊属性，而是表征总体状况的某一个或几个数量指标。对于一个总体来说，它的每一个数量指标对于不同的个体其指标值可能是不同的，即就是说数量指标是一个随机变量（或随机向量），所以我们常常把研究对象的某一个数量指标的可能取值的全体组成的集合称为总体，而直接把总体与随机变量等同起来，说”总体”， 的概率分布称为总体分布，的数字特征称为总体的数字特征。 6.1.2 样本 要了解总体的分布规律，就必须从该总体中按一定法则抽取一部分个体进行观测或试验，以获得有关总体的信息，从总体中抽取有限个个体的过程称为抽样，所抽取的部分个体称为样本，样本中所含个体的数目称为样本的容量。例如，为研究某批电视机的质量，通常把使用寿命作为体现质量特征的数量指标，为了解总体的概率分布情况，我们从这批电视机中抽样台进行观测或试验，第台电视机的使用寿命记为（…）， 这样就是来自总体的一个容量为的样本，需要注意的是：由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取之前无法预知它们的数值，因此样本是一个维随机向量，在抽取以后，通过观测或试验得到一组数值，用表示，称为样本的观测值。 抽取样本的目的是为了对总体的特性作出估计与推断，为了能使样本很好地反映总体的特性，数理统计中常用的一种抽样方法是简单随机抽样，指的是对总体的抽样结果,….相互独立，且每个与总体同分布，这样的样本称为简单随机样本。今后，如果不作特别申明，所说的样本都是指简单随机样本。 6.1.3样本的联合分布 设总体的分布函数为，为来自总体的样本，那么样本的联合分布函数为 。 如果总体是离散型随机变量，其分布律为，那么样本的联合分布律为 。 如果总体是连续型随机变量，其分布密度为，那么样本的联合分布密度为 。 6.1.4经验分布函数分布 设总体的分布函数为，是来自总体的样本，为样本观察值，现将从大到小排列，记为 则有 定义函数 显然，是非降右连续函数，且。由此可见，是一个分布函数，称为经验分布函数。 §6.2 统计量 6.2.1 统计量的定义 数理统计的任务就是从总体中抽取样本，进而利用所获得的样本信息对总体的某些概率特征进行推断，为了有效地搜集到样本的信息，往往需要考虑各种不含任何未知参数的样本的函数，这种函数就是数理统计学中讨论的统计量。 定义6.2.1设是来自总体的样本，设是连续的不含任何未知参数的元实值函数，样本的函数 是一个随机变量，称为统计量。 例6.2.1 设是来自正态总体～的样本。其中已知，未知，则 ，，， 是统计量，而不是统计量。 当我们得到样本的观测值时，也就得到了统计量的观测值记为，它是一个具体的数值。 6.2.2 常用的统计量 下面介绍一些常用的统计量 1. 样本的数字特征 定义6.2.2 设是来自总体的样本，则称统计量 为样本均值，称统计量 为样本方差，称统计量 为样本标准差，一般地，称统计量 为样本阶原点矩，称统计量 为样本阶中心矩。 显然，，即样本阶原点矩就是样本均值, 而，当样本的观测值为时，我们用，，，分别表示统计量，，，的观察值，如。 定理6.2.1设总体数学期望及方差存在，是来自总体的样本，则 ，, 。 证明 由于相互独立与总体同分布，故有 ， ， 从而 。 。 注意到 ， 所以 。 2. 顺序统计量 定义6.2.3 设是来自总体的样本，将它们按大小排列成 都称为顺序统计量。 可以看出 ，， 称为最小顺序统计量，为最大顺序统计量，称为极差。 例6.2.2设总体的分布函数为，密度函数为，是来自总体的样本，求和的分布函数及密度函数。 解 设和的分布函数分别为,，由于相互独立与总体同分布，则 ， 所以的密度函数为 。 又 ， 所以的密度函数为 。 §6.3 数理统计中几个常见分布 本节我们主要介绍分布、分布、分布及其性质，这些分布在数理统计中有重要的应用。 6.3.1 分布 定义6.3.1设随机变量相互独立，且～，则称随机变量 服从自由度为的分布，记为～。特例，如果～，则～。 的分布密度为 其中称为函数, 且, 。分布密度的图像为 (图6.3.1) (图6.3.2) 分布具有如下性质： (1)分布具有可加性，设随机变量相互独立，`且～，则～; (2)设～，则，。 在本书附录表3中，如果～，在给定自由度及数的情况下，可以查表得数(图6.3.2)满足 ， 称为分布的临界值(或上侧分位数)。显然有。 例6.3.1 设～ (1)，； (2)，； (3)，是来自