第四章(第一,二节)打印稿.docVIP

随机变量的函数的分布 问题、目的、实际意义 设为随机变量,它的概率分布(分布函数,分布律或概率密度)已知,为连续函数,则为随机变量,如何确定的概率分布; 设为二维随机变量,它的概率分布已知,为连续函数,则为随机变量,如何确定的概率分布;这是在实际和理论中既普遍又重要的一类问题. 例如在无线电接收中,某时刻接收到的信号是一个随机变量,那么把这个信号通过平方检波器输出的信号为,这时就需要根据的分布来求的分布.又如在统计物理中,已知分子运动速度的绝对值之分布,要求其动能的分布.再如火炮射击平面上的目标0时,已知弹着点的分布,要求弹着点到目标0的距离的分布等等. 本章只讨论一维与二维的的离散型和连续型随机变量的函数的分布. 离散型随机变量的函数的分布 实例 测量一个正方形的边长,其结果是一个随机变量(为简单起见把它看成是离散型的).的分布律为 9 10 11 12 0.2 0.3 0.4 0.1 求周长和面积的分布律. 解 根据题意,, , 的分布律为 36 40 44 48 0.2 0.3 0.4 0.1 的分布律为 81 100 121 144 0.2 0.3 0.4 0.1 例1 已知随机变量的分布律为 0 1 2 试求:(1);(2) 的分布律. 解 (方法步骤,列表代入计算复合函数的值) 0 -1 0 3 -1 1 3 5 -1 0 1 2 (1) 的分布律为 -1 1 3 5 (2) 的分布律为 -1 0 3 一般地,有如下定理: 定理 设离散型随机变量的分布律为 , (1)若对于的不同取值,的取值也不同,则随机变量的分布律为 , (2)如果对于的有限个或可列无穷多个不同的取值有 则有 . 二维离散型随机变量的函数的分布律 实例 一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和,这两个部件的长度和为两个相互独立的随机变量,其分布律如表, X 9 10 11 P 0.3 0.5 0.2 Y 6 7 P 0.4 0.6 求此仪器长度的分布律. 解 根据题意,, , ; 列表计算 Z=X+Y 15 16 16 17 17 18 (X,Y) (9,6) (9,7) (10,6) (10,7) (11,6) (11,7) P 0.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12 的分布律. Z 15 16 17 18 P 0.12 0.38 0.38 0.12 定理 设二维离散型随机变量的分布律为 , (1)若对于的不同取值，的取值也不相同， 则随机变量的分布律为 , (2) 如果对于的有限对或可列无穷对不同的取值 ,, 取相同的值, ,, 则 . 例2 已知二维随机变量的分布律 Y X 0 1 2 -1 0.1 0.2 0.1 2 0.2 0.1 0.3 试求:(1); (2) ;(3)的分布律. 解 (将的取值对列出,计算函数值,合并相同的值) 列表 max(X,Y) 0 1 2 2 2 2 XY+1 1 0 -1 1 3 5 2X+Y -2 -1 0 4 5 6 (X,Y) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2) P 0.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 从而得所求分布律为 (1) 2X+Y -2 -1 0 4 5 6 P 0.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3 (2) XY+1 -1 0 1 3 5 P 0.1 0.2 0.1+0.2=0.3 0.1 0.3 (3) max(X,Y) 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7 例3 设,且相互独立, 试证 . 证明 由已知条件 ,, ,, ,, 由于 , 由互不相容事件概率的可加性和随机变量的独立性得 ,, 故由泊松分布定义知 . 例4 设随机变量相互独立且服从相同的(0—1)分布, 即,, . 令 , , 试分别求和的分布律. 解 根据题意和题设条件知, 的值为 (1,0),(1,1),(0,0),(0.1); 的可能取值为:2,1,0,-1; , , , , , , , , 于是的分布律为 -1 0 1 2 , , 于是的分布律为 0 1 一维连续型随机变量的函数的分布 例1 设对球的直径进行测量，测量值在区间上服从均匀分布，试求球体体积的概率密度. 解 随机变