第六章最大似然估计.docVIP

第六章? 数理统计的基本概念 一、基本教学要求与主要内容 (一)教学要求 ? ??1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 ??? 2．了解 分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 ??? 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 ??? 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 ??? 本章重点：统计量的概念及其分布。 ? (二)主要内容 ??? 1．总体、个体 ??? 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当 X服从正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： ??? (1)未知，但已知； ??? (2)未知，但已知； ? ??(3)和均未知。 ??? 2．简单随机样本 ??? 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。 (）称为样本观测值。 ? 如果样本()满足 ? （1）相互独立； ???(2) 服从相同的分布，即总体分布； ? 则称()为简单随机样本。简称样本。 ? 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（ )的联合概率函数(联合密度函数为) ??? ??? 3. 统计量? 完全由样本确定的量，是样本的函数。 即：设是来自总体X的一个样本，是一个n元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值，则称为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本中位数：????????? ???????????????????当n为奇数 med= ???????? 当n为偶数 其中：是数据由小到大的重排。 （5）样本的极差： （6）样本的四分位间距： 其中分别为数据的上、下四分位数。 样本相关系数： 5. 三个重要分布 （1）分布 设为独立标准正态变量，称随机变量的分布为自由度为n的分布，记为。 称满足：的点为分布的分位点。 （2）t分布 设随机变量X与Y独立，，则称 的分布为自由度n的t分布，记为。 称满足：的点为t分布的分位点。 （3）F分布 设随机变量U与V相互独立，，则称 的分布为自由度的F分布，记为。 称满足：的点为F分布的分位点，且有 6. 正态总体的抽样分布 统计量的分布称为抽样分布，设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别为样本的均值和样本方差，则有 （1）； （2）与相互独立； （3）。 ? 学习要点 统计学的核心问题是由样本推断总体，因此理解统计量的概念非常重要。它是样本的函数，统计量的选择和运用在统计推断中占据核心地位。样本均值、样本方差以及其他样本矩都是一些常用的统计量，必须熟悉它们的计算方法及其有关性质。统计量的分布称为抽样分布，其中分布、t分布、F分布即是本章的重点，必须熟悉它们的定义、性质及其上分位点的查表方法；正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果，必须弄清它的条件及结论，并能运用判断一些常用统计量的分布。 ? 习题解答 ??? 1. 设是来自服从参数为的泊松分布的样本，试写出样本的联合分布律。 ??? 解? ????????? ??? 2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 （1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ （3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 ??? 解 （1）??? ????????? ??????????????????????? 0??????????? 其他 （2）和是，和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数，而和中含有未知参数。 （3）样本均值 样本方差 样本标准差。 ??? 3. 查表求，，，。 解? ，，，。 ??? 4. 设，求常数，使。 ??? 解? 由t分布关于纵轴对称，所以即为。 由附表5.6可查得，所以。 ??? 5. 设是来自正态总体的样本，试证： （1）； （2）。 证明： （1）独立同分布于，由分布的定义，