第六章 参 数 估 计.docVIP

参 数 估 计 教学内容：本章主要讲述点估计（矩法估计，极大似然估计）；估计量的评价准则（无偏性、有效性一致性）；区间估计（区间估计的一般步骤，单个正态总体参数的区间估计，双正态总体参数的区间估计，非正态总体参数的区间估计）等内容。 教学重点： 理解点估计的概念，掌握矩估计法（一阶、二阶）。了解极大似然估计法。 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值与方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差与方差比的置信区间。 教学难点： 1、矩法估计，极大似然估计。 2、估计量的评价准则。 3、正态总体参数的区间估计。 参数估计是统计推断的基本问题之一，它所要解决的问题是，当所研究的总体的分布形式已知，但其中所含参数的真值未知时，可以借助样本所提供的信息，构造样本的函数，来对未知的参数作出某种估计。例如，某种产品的一项质量指标?服从正态分布，其概率密度为如下形式： 但是，其中的两个参数?，?2的真值未知。通过从总体抽取一个样本来对?，?2作估计，便是本章所要讨论的参数估计问题。 另外，在一些实际问题中，需要对已知或并不知道服从何种分布的随机变量?的数字特征，如E?，D?等做出估计。由于随机变量的数字特征同它的概率分布中的参数存在一定的关系，因而这种对数字特征的估计，也称之为参数估计。 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。 6.1 点 估 计 设总体?的分布形式F（X;?）f(X;?)亦或P(X;?）k维参数 未知待估。参数的点估计问题便是根据从总体中抽取的样本，对每一个未知参数，构造一个适当的统计量 作为 的估计。这样得到的 称为的估计量。由于样本是随机变量，所以估计量也是一个随机变量。若在具体抽样观测后得到样本的观测值，的一个具体数值，称其为的估计值。显然，对于不同的样本观测值，，与估计值都称为的估计，并都简记作。 在参数点估计中，关键是构造点估计量，而构造点估计量的方法有多种，下面我们只介绍两种常用的方法：矩估计法和极大似然估计法。 6.1.1 矩估计法 由皮尔逊(K.Pearson)提出的矩估计法，其基本思想是：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应总体矩的同一函数的估计。 这是因为根据大数定律，如果总体?的j(为正整数)阶原点矩存在，则样本的j阶原点矩将依概率收敛于。j阶原点矩作为总体的j阶原点矩的估计；用样本原点矩的函数来估计相应的总体原点矩的同一函数。 设总体?的分布中含有k个未知参数，且?的前k阶原点矩 存在，并记 由方程组 (6.1) 解得 并以作为参数的估计量，则称为未知参数的矩估计量 。 【】 是取自总体?的一个样本（不论?服从何种分布）存在，但未知，试求的矩估计量。 解 因为，所以 根据(6.1)式，由方程组 解得 即 (6.2) 分别为所求的矩估计量。 可见，对任意的总体?，总体的均值的矩估计量是样本均值，总体的方差的矩 估计量是样本的二阶中心矩： 它们不因总体的分布不同而异。 例6.1的结论，可在一些求解矩估计量的问题中作为定理直接使用。， ?～N()，未知。由于正态总体中的两参数，分别是总体的均值和方差，故由例6.1的结论即得的矩估计量分别为: 【6.2】?～U(a，b)，?的一个样本，试求a，b 估计量。 解 因为?～U(a，b) ，.1的结论，有： 即 解得 【6.3】 ?具有密度函数 为取自?的一个样本，试求f(x)中的未知参数(0)的矩估计量。 解 若令，: 于是由， : 矩估计法直观，简便，且正如例6.1所显示的，一般来说并不要求知道总体的分布情况，从而应用广泛。但也因该法没能充分利用已知分布对未知参数所提供的信息，因而有时精度较差。 6.1.2 极大似然估计法 由费歇（R.Fisher）引进的极大似然估计法，是当总体分布形式已知时，参数点估计中最重要且精度较高的一种方法。 我们知道，总体分布中所含有的未知参数(可为一数或一向量)通常是可以取多个值的（参数全部可容许值组成的集合称为参数空间，记作）；再者，一随机试验也通常有 多种可能结果，如果在一次抽样中得到了样本观测值，我们会自然认为，该组观测值是多种可能结果中出现的概率最大的一组。于是应从的一切可能取值中（即中）选出这样的值（记作