奥林匹克数学的技巧(上篇).docVIP

奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用表示这位棋手在第1天至第天（包括第天在内）所下的总盘数（），依题意 考虑154个数： 又由，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于时， 故只能是满足 这表明，从天到天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知为正数且求表达式的最最小值。 解：构造一个△ABC，其中三边长分别为，则其面积为 (这句肯定了构造的合理性) 另方面 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即 时，取最小值2，如时，。 2-7-2 映射 它的基本形式是RMI原理。 令R表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像，令表示一种映射，通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像的映象。如果有办法把确定下来，则通过反演即逆映射也就相应地把确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。 建立对应来解题，也属于这一技巧。 例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 。 解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A1，A2，…，A7和B1，B2，…B7。 如果甲方获胜，设获胜的场数是，则而且 （*）容易证明以下两点：在甲方获生时， （i）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数解； （ii）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：A1胜B1和B2，B3胜A1，A2和A3，A4胜B3后负于B4，A5胜B4，B5和B6但负于B7，最后A6胜B7结束比赛。 故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整数解的个数。 解二 建立下面的对应； 集合的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程，且这种对应也是一个一一对应。例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合的7-可重组合的个数。 例2-130 设表示个元素中有个不动点的所有排列的种数。求证 证明 设。对S的每个排列，将它对应向量，其中每个，当排列中第个元素不动时，，否则为0。于是中所计数的任一排列所对应的向量都恰有个分量为1，所以个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为。 另一方面，对于每个，，使得第个元素不动的排列共有个，从而相应的维向量中，有个向量的第个分量为1。所以，所有向量的取值为1的分量总数，从而得到 例2-131 在圆周上给定个点，从中任选个点染成黑色。试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有个给定的点。 证明 若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第个点都是白点，因而，对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点。这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有个白点（包括重复计数）。又因每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有个不同的白点，这与共有个点矛盾，故知命题成立。 2-7-3 递推 如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命