数值分析25 常微分方程初值问题的.ppt

三、三阶龙格－库塔方法 四、四阶龙格－库塔方法 两点说明: R-K方法的绝对稳定区域 五、变步长的龙格—库塔方法 习题九：P350-------5，8 数值分析 第九章 常微分方程数值解 第一节 求解初值问题数值方法的基本原理 第二节 高精度的单步法 第三节 线性多步法 第四节 一阶微分方程组的解法 第五节 边值问题的打靶法和差分法 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 第一节 求解初值问题数值方法的基本原理 数值解 (9-1) 一、初值问题的数值解 求解(9-1)最基本的方法是单步法 单步法:从初值 开始,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的 ，是一种逐点求解的离散化方法。 典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是: 例9-1:求解常微分方程初值问题 由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值. x0 x1 向前差商近似导数 记为 二、构造初值问题数值方法的基本途径 以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径 1. 数值微分法,用差商代替微商 1. 数值微分法,用差商代替微商 亦称为欧拉折线法 2. Taylor展开法 得到Euler公式 忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式 3. 数值积分法区间 将 区间 积分 1、隐式欧拉法 /* implicit Euler method */ 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 三、Euler公式的改进及梯形公式 2、梯形公式 /* trapezoid formula */ ------- 显、隐式两种算法的平均 3、 中点欧拉公式 /* midpoint formula */ 中心差商近似导数 x0 x2 x1 2、梯形公式 /* trapezoid formula */ 4、改进的欧拉法 /* modified Euler’s method */ Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。 例9-2 用改进的Euler方法解初值问题 解：利用 可得 四、单步法的误差分析和稳定性 1. 整体截断误差和局部截断误差 整体截断误差: 数值解 和精确解 之差 整体截断误差除与 步计算有关外,还与 的计算有关. 分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为: 其中 称为增量函数。如对于Euler公式其增量函数 欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开: 欧拉法具有 1 阶精度。 类似可以证明改进的Euler方法具有2阶精度 改进的Euler方法具有2阶精度 2. 收敛性和整体截断误差 定义9-2　 若某算法对于任意固定的 x = x0 + n h，当 h?0 ( 同时 n ? ?) 时有 yn? y( xn )，则称该算法是收敛的。 例9-3：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 解：该问题的精确解为 欧拉公式为 对任意固定的 x = xn = nh ，有 ? ? 关于整体截断误差与局部截断误差的关系,有如下定理 定理