两角和与的三角函数及倍角公式的综合运用.doc

高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知 求证： 分析 注意到已知条件中的角、与欲证等式中的角、的关系：因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明. 证：== = 评析 本题也可以由已知得，代入右边，得 例2 已知求的取值范围. 分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围. 解 令，① 由已知，. ② ①2+②2 ： 即 例3 求函数的值域 分析 的解析式中既有，又有，若由将表示成或将表示成，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到，因此可作代换：则和都可以用表示，就可以变形为的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得的值域. 解 令 则 当 当 的值域为 评析 相应于，还有更一般的情况： ∴可以设 则，并由此可求出的取值范围.如设则若则 例4 已知且、、均为钝角，求角的值. ①②解 由已知， ① ② ①2+②2： 评析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或 例5 已知求的值. 分析 因，所以只要求出和的值.由已知，，所以如能由求出的值，即可求得的值. 解 ， 评析 一般地，和之间有关系：或写成 例6 已知，求的值. 分析 由可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的式子. 解 评析 与类似，有 例7 已知求的值. 分析 由例6评析，因此希望把也变形为和的三角函数. 解 = . = ， == 评析 若令，则由上述解题过程可知，，类似地有 例8 求值：（1） （2） 分析 （1）为特殊角，，因此有， （2）为特殊角，，因此有 解 （1）== = == （2）= = 练 习 一、选择题 1．等于 （ ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的值等于 （ ） A． B． C． D． 3．已知，则等于 （ ） A． B． C． D． 4．下列式子中不正确的是 （ ） A． B． C． D． 5．已知，则的值等于 （ ） A． B． C． D． 6．已知，且是第三象限角，则的值是 A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．求值：= . 8．已知，则角是第 象限角. 9．已知、、均为锐角，且，则= . 10．求值：= . 三、解答题 11．求值：（1） （2） 12．已知，求的值. 13．求证：（1） （2） （3） 14．（1）已知求 （2）已知求 答案与提示 [答案] 一、1．B 2． A 3．C 4．D 5．D 6．A 二、7． 8．四 9． 10．2 三、11．（1）， （2） 12． 13．略 14．（1） （2） [提示] 一、1． 4． = += 5． 6．是第三象限角， 二、8. 9. 、、 10.. 三、11．（1） （2） 12． 13．（1） （2）== （3）= = 14．（1） ① 　② ①2+②2： ， （2） ① ② ①+② ： ③　 　①－② ： ④ 22 　　　　　 　　　　　　　　　　 2 2 ④ ③ ： ④