三角形的心旋转.doc

三角形的五心旋轉 一.研究動機 : 有一次，我們隨意翻閱三年級的課本第五冊第三章，裡面剛好有提到三角形的重心、內心、外心。於是好奇的我們便去請教數學老師 :三角形只有三個心嗎？老師告訴我們並不是，其實是有五個心，分別是重心、內心、外心、垂心和傍心。然後我們便嘗試以三角形的五心為圓心旋轉，觀察其所產生的圓形。 二.研究目的 : 探究以下的幾種旋轉情形： 1.正三角形的四心旋轉。（重心、內心、外心、傍心） 2.等腰三角形（三角皆銳角）的四心旋轉。 3.等腰三角形（一角是鈍角）的四心旋轉。 4.直角三角形的四心旋轉。 5.等腰直角三角形的四心旋轉。 6. 正三角形的傍心旋轉。 7. 等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉。 8. 等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉。 9. 直角三角形的傍心旋轉。 10. 等腰直角三角形的傍心旋轉。 三.實驗器材 : 量角器、直尺、圓規、計算機、厚紙板、奇異筆。 四.實驗步驟 : 1.裁減一個正三角形，畫出重心，轉出其圓。 2.裁減一個等腰三角形（三角皆銳角），畫出重心，轉出其圓。 3.裁減一個等腰三角形（一角是鈍角），畫出重心，轉出其圓。 4.裁減一個直角三角形，畫出重心，轉出其圓。 5.裁減一個等腰直角三角形，畫出重心，轉出其圓。 6.如以上1. 2. 3. 4.步驟分別裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、 一角是鈍角）、直角三角形和等腰直角三角形，畫出內心，轉出其 圓。 7.也是裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）、直 角三角形和等腰直角三角形，畫出外心，轉出其圓。 8.裁減正三角形、等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）、直角三 角形和等腰直角三角，畫出垂心，轉出其圓。 9.因正三角形三邊等長，所以繪出一個傍心即可。轉出其圓。 10.而等腰三角形（三角皆銳角、一角是鈍角）和等腰直角三角形倆 邊等長，所以畫二個傍心。轉出其圓。 11.但直角三角形三邊皆不同，所以畫三個傍心。轉出其圓。 12.最後互相比較正三角形的五心旋轉、等腰三角形（三角皆銳角、 一角是鈍角）的五心旋轉、直角三角形及等腰直角三角的五心旋 轉，並把其結果記錄下來。 五.實驗結果與討論 : 1.正三角形的五心旋轉 : 正三角形的重心旋轉 正三角形的內心旋轉 正三角形的外心旋轉 正三角形的垂心旋轉 正三角形的傍心旋轉 2.等腰三角形（三角皆銳角）的五心旋轉 : 等腰三角形（三角皆銳角）的重心旋轉 等腰三角形（三角皆銳角）的內心旋轉 等腰三角形（三角皆銳角）的外心旋轉 等腰三角形（三角皆銳角）的垂心旋轉 等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉【1】 等腰三角形（三角皆銳角）的傍心旋轉【2】 3.等腰三角形（一角是鈍角）的五心旋轉 : 等腰三角形（一角是鈍角）的重心旋轉 等腰三角形（一角是鈍角）的內心旋轉 等腰三角形（一角是鈍角）的外心旋轉 等腰三角形（一角是鈍角）的垂心旋轉 等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉【1】 等腰三角形（一角是鈍角）的傍心旋轉【2】 4.直角三角形的五心旋轉 直角三角形的重心旋轉 直角三角形的內心旋轉 直角三角形的外心旋轉 直角三角形的垂心旋轉 直角三角形的傍心旋轉【1】 直角三角形的傍心旋轉【2】 直角三角形的傍心旋轉【3】 5.等腰直角三角形的五心旋轉 : 等腰直角三角形的重心旋轉 等腰直角三角形的內心旋轉 等腰直角三角形的外心旋轉 等腰直角三角形的垂心旋轉 等腰直角三角形的傍心旋轉【1】 等腰直角三角形的傍心旋轉【2】 1.正三角形的五心旋轉:因為重心、外心、內心、垂心都在同一點上， 它們的圓心也在同一點上，轉出來的圓也一樣大。傍心的半徑就是 三角形的高。 2.直角三角形的五心旋轉:轉出來的圓，外心的圓垂心的圓內心的 圓重心的圓，因為直角三角形有三個不同長的邊所以有三個不同 位置的傍心，底邊越短轉出來的圓越小。 3.等腰三角形的五心旋轉(銳角):重心、外心、內心、垂心旋轉的圓心 都在重心的位置，所以轉出來圓都一樣大。因為兩邊相同所以只畫 兩個傍心即可，底邊越短轉出來的圓越小。 4.等腰三角形的五心旋轉(鈍角):轉出來的圓，垂心的圓外心的圓 重心的圓內心的圓。傍心在下方的圓傍心在旁邊的圓。 5.等腰直角三角形的五心旋轉:垂心的圓外心的圓重心的圓內心 的圓傍心的圓，重心的圓不是以重心為準，所有的圓只屬內心是 完整在裡面。傍心底邊越短轉出來的圓越小。 六.結論 : 我們要證明三角形所轉出的圓，其圓心到達三邊的距離是最短或相等的。 『1』正三角形 1.重心、內心、外心、垂心 轉出的三角形洽為ΔABC的內切圓，所以