三角形五性质归纳总结.doc

三角形的“五心”性质归纳总结 任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。我们可以用14个字便能准确快捷地区分并记住五心，“中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁”，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线。 中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。 高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。 垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R. 分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r. 重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。 外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。 到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。 在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。 等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一颗旁心合一，外接圆半径R为内切圆半径r的2倍，R=a （a为边长） （∠OAD=30°，∴R=2r,高为a,则，R=a，r=a） 直角三角形的外接圆半径为斜边的一半（），内切圆半径为（a+b-c）,c为斜边的长。 如图 S=AC·BC=r（AC+BC+AB） ∴r== ==（a+b-c） 已知等边三角形ABC是⊙O的内接三角形，若⊙O 的半径为8cm时，求△ABC的内切圆面积。 解析：要求内切圆面积，先找内心和半径r；因为是等边△，∴内外心合一，且R=2r。则r=4cm. ∴S内切圆=r=16 在Rt△ABC,AB为斜边，AC=6,BC=8,I为内心，O为外心，求OI的长。 解析：由勾股定理有AB=10，I为内切圆圆心即内角平分线交点， 过I作IE⊥BC，IF⊥AC，ID⊥AB， ID=（a+b-c）=2 在Rt△ABC, O为外心，则AO=BO=5 由切线长定理知 CF=CE=r,AF=AD,BE=BD, ∴AF=AD=AC-r=6-2=4 则OD=1, 在Rt△IOD中,ID=2,OD=1,则OI==.