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第四章 三角函数教材分析 2006.3.3 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所学的知识内容，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继知识内容和高等数学的基础。 本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)： 4.1 角的概念的推广 约2课时 4.2 弧度制 约2课时 4.3 任意角的三角函数 约2课时 4.4 同角三角函数的基本关系式 约2课时 4.5 正弦、余弦的诱导公式 约3课时 4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切 约7课时 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切 约3课时 4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质 约4课时 4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 约3课时 4.10 正切函数的图象和性质 约2课时 4.11 已知三角函数值求角 约2课时 小结与复习 约4课时 一、内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等。 (二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积。这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值。 (三)第一单元是“任意角的三角函数”。首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。而且教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。 1.任意角，包括任意大小的正角、负角和零角，应该注意掌握终边相同的角、象限角、轴上的角（限界角）等概念的联系与区别，要求能准确地表示，还要注意与这些角有关的角的表示，如：已知角α是第几象限的角，求、角所在的象限和2α角所在的位置；运用“整数集=奇数集∪偶数集”写出终边在x轴或y轴上的角α的集合。 注意：“角α的终边在x轴的非负半轴上”的叙述方式，与过去的说法“角α的终边在x轴的正半轴上”的不同。 角终边在x轴的非负半轴上 α=2kπ k∈Z 角终边在x轴上 α=kπ k∈Z 角终边在坐标轴上 α=k k∈Z 角终边在x轴的非正半轴上 α=π+2kπ k∈Z 角终边在y轴的非负半轴上 α=+2kπ k∈Z 角终边在y轴上 α=+kπ k∈Z 角终边在y轴的非正半轴上 α=+2kπ k∈Z 2.由于任意角α的三角函数值仅与角α的终边所在的位置有关，与其终边上的点的位置选取无关；而且三角函数的定义是同角三角函数关系式，乃至整章知识的基础，所以必须牢固掌握任意角的三角函数的定义。要结合单位圆内的三角函数线，掌握数形结合的数学思想方法解决三角函数问题。 3.三角函数线：单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示。用三角函数线的数值来代替三角函数值要比由定义所规定的比值来求得三角函数值要直观得多，因此三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具，特别是在求取值范围、比较大小、解三角不等式等问题时，用三角函数线来求解十分简捷。另外，三角函数线又是绘制正弦曲线、正切曲线的基础。 4.诱导公式在三角函数求值、化简三角函数式、证明三角恒等式中起着重要的桥梁作用，一定要熟记在心。可以用“奇变偶不变，符号看象限”或“纵变横不变，符号看象限”来帮助记忆。 5.同角三角函数基本关系式，可用“正六边形记忆法”来记忆。当已知一个角的一个三角函数值时，可以按照“正六边形”图示来求出这个角的其他三角函数值，值得提示的是：应该首选倒数关系，尽量少用平方关系，因为用平方关系时，需要讨论三角函数值的符号。 (四)第二单元是“两角和与差的三角函数”。先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出和角的余弦公式，然后顺次推出其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。 1.两角和与差的三角函数公式是本节所有公式（二倍角公式、半角公式以及万能公式、积化和差公式与和差化积公式）的基础，在教学过程中，要将公式之间的内在联系讲透。既要重视公式的正向运用，也要重视公式的逆用与变形运用训练，提高公式的灵活应用水平。 2.三角公式的主要运用是三角函数式的化简、求值及证明三角恒等式。 在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切割化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等。 = 1 \* roman i）注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：