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三角函数角公式
三角函数半角公式
复习重点:半角角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
复习难点:半角公式的应用 复习内容: 倍角和半角相对而言,两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式,即, 进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛,“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取,而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示,即:.这个公式可由二倍角公式得出,这个公式不存在符号问题,因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα,即: ,,这组公式叫做“万能”公式. 教材中只要求记忆两倍角公式,其它公式并没有给出,需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出. 例3.化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50° 解:(1) csc10°-sec10° (2) tan20°+cot20°-2sec50° 例4.求:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 解:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 例5.已知:.求: cos4θ+sin4θ的值. 解:∵, ∴ , 即, 即 ,∴ cos4θ+sin4θ 例6.求cos36°·cos72°的值. 解:cos36°·cos72° 例7.求:的值. 解: 上述两题求解方法一致,都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的,要满足(1)余弦相乘,(2)后一个角是前一个角的两倍,(3)最大角的两倍与最小值的和(或差)是π.满足这三个条件即可采用这种方法. 例8.已知:2cosθ=1+sinθ,求. 方法一: ∵2cosθ=1+sinθ,∴ ∴ 或,∴ , ∴ ,∴ 或 =2. 方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ, ∴ , ∴ , ∴ 或 ,∴ 或 =2. 例9.已知:,求:tanα的值. 解:∵,∴ , ∵ 0≤α≤π, ∴ ,∴ (1)当时, , 则有,∴, ∴ , ∴ , ∴ . (2)当,则有 , ∴ , ∴,∴. 注意:1与sinα在一起时,1往往被看作,而1与cosα在一起时,往往应用二倍角余弦公式把1去掉. 例10.已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β. 证明:∵ , ∴ ∴ 4sin2α=1+2sin2β ∴ 2-4sin2α=2-1-2sin2β ∴ 2cos2α=cos2β. 课后练习: 1.若,则( ). A、PQ B、PQ C、P=Q D、P∩Q= 2.若A为ΔABC的内角,,则cos2A=( ). A、 B、 C、 D、 3.若,则sin2θ=( ). A、 B、 C、 D、 4.若,则sinθ=( ). A、 B、 C、 D、- 5.若,则=( ). A、 B、 C、1 D、-1 6.若,则cosα=________. 7. 若θ为第二象限角,且,则=_____. 8.已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2. 参考答案: 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6. 7. 6
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