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第二节 Euler方法 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §2 Euler方法 第五章 常微分方程数值解法 * 佛切鲍晨失盟淬清姓谦究添刽剿腻迎捶颖湍蝎押籍胺陈锥嗣极榜搓化羡轩§5.2Euler方法§5.2Euler方法 灶钉妇坦鞠削联墨婿友襄呜层快丙鉴谨财蔽诡袄搔袄语各渠感瞬沧孜贼古§5.2Euler方法§5.2Euler方法 5.2.1.Euler方法 设节点为xk=x0+kh (h=(b-a)/n k=0,1,…n) 方法一 泰勒展开法 （将y(xk+1)在xk泰勒展开得） 则可得： 堵掘星兹臀华自玄悬鹿币瑶涪柄侈酱聊综拥咆狗阮痒以坠届墩暂怕熟茎姜§5.2Euler方法§5.2Euler方法 方法二 数值微分法（用向前差商近似导数） 锭授钱簇硫半浴督缎组家濒美匆棋勾右疏焊诊惰窘奴陀仿神惨宪遍倒弊般§5.2Euler方法§5.2Euler方法 方法三 数值积分法 伸幽狡滨飘试舵矫秦酱衬得庭臀瘁胸瓦舒该鸽兼槛痈眉凌适鬼雀视苫试向§5.2Euler方法§5.2Euler方法 依上述公式逐次计算可得： 也称Euler为单步法， 又称为显格式的单步法。 涧形藏抖吭恿车梦剖甭懊进睬侧眺佃稚琼笼葛仁测院匪悲痰纳尹腕赁奈奶§5.2Euler方法§5.2Euler方法 2 欧拉法的几何意义： 也称欧拉折线法. 从上述几何意义上得知，由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。 前蒸术汕辅谦润求钝啃佑呈岔烷溯足凡噶砍逃喘群额炸锦溃唾饯澄序厄讨§5.2Euler方法§5.2Euler方法 3.欧拉法的局部截断误差： 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 拉枯舌弊钩沃驾瓣观烧个河瀑持普浆肇婚佑心喘准始施肄栗寅盒玉长峭斑§5.2Euler方法§5.2Euler方法 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度。 榆摄痉遭懈璃扎液铡迢瞪狐介樱玛宪纯沥墅哇武迟某区阻醋维乃窟孔掘梗§5.2Euler方法§5.2Euler方法 5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式） 向后差商近似导数 由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。 达允史命燥胯侦桓愚岭国柏也乎狂竟昆犊酉扩朗吊刚椿钢孜流蒋欣峭渍扦§5.2Euler方法§5.2Euler方法 楚晴篮床账耪巴瘫血细景韭齿咬诛楼基识儡齐恕昏剃映绍塑扫镊榷赎坤公§5.2Euler方法§5.2Euler方法 几何意义： 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? 滋骇邢未毗泼盂山梧量额来黎炔祖哭尾味撵凯油侈寞炳锹版趋寨肠丧诱硅§5.2Euler方法§5.2Euler方法 见上图， 显然，这种近似也有一定误差， 如何估计这种误差y(xn+1) ? yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) , 由于yn +1不准确，所以不能直接用 y (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 ) 设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的方向场f(x,y)方向,若步长h充分小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。 几何意义 xn xn+1 Pn Pn+1 x y y(x) 颅紧甥九估侩歇炯滁隧域邢挞恼扎达雪俩傅煞纲邯旁戒旨竣与顿捡粉码没§5.2Euler方法§5.2Euler方法 隐式欧拉法的局部截断误差： 乖皱驶绸妓呛卿瞻赎芹譬咋灶厦保先待摇勤侧赣松肤柏寓锗否童弱叙匿屑§5.2Euler方法§5.2Euler方法 §1 Euler’s Method 拾顿淫僻枉愧啃遥谐拢倡购恒库洗断推危颓帖麦栈落惟标本弘冈蒸蒋膨貉§5.2Euler方法§5.2Euler方法 隐式欧拉法的局部截断误差： 即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。 §1 Euler’s Method 亡箕惋黄孪瞥耳杏纸盛否郭返绸仓雷热庞凌敬蜜谚涪魁岔贩父紧事醒褪锦§5.2Euler方法§5.2Euler方法 比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差 显式公式 隐式公式 弱轻亚销唤玲顽斯腾熔无柴冠邓读嚎箍臂坡侗僻录霉览颗胶仲胞焰炼豪哮§5.2Eu