“养兔”“数数”.doc

“养兔”与“数数” 中世纪意大利数学家斐波那契，在《算盘全书》中提出了一个著名的兔子繁殖问题：出生两个月的一对（一雄一雌）兔子，就可以生小兔，而且每对兔子每个月都可以生一对（一雄一雌）兔子，如果一年中 一个兔子死亡，那么养一对初生的兔子，一年后可繁殖多少对小兔？ 分析：第一个月，只有一对兔子； 第二个月，一对兔子还未成熟，不能繁殖，因此仍为1对兔子； 第三个月，这对兔子成熟，并生1对兔子，因此共2对兔子； 第四个月，一对成熟兔子生1对兔子，另1对还未成熟，因此共3对兔子； 第五个月，有2对兔子繁殖，1对兔子未成熟，因此共5对兔子；…… 照此办法，我们不难逐月推算，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 大兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 合计对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 逐月计算兔子的总数，我们得到如下数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…（即斐波那契数列），因此，一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖的兔子的对数为144． 从数学的角度分析斐波那契数列的构造，不难看出斐波那契数列的本质特征是：数列从第三项起，每项都等于它的前面两项之和． 在实际生活中，我们发现，不只是兔子，鸽子的繁殖也遵循斐波那契数列的规律，比如像树木生长，叶子等也有此规律，下面以中考题为作一介绍与同学们共赏． 例1．（湖北省武汉市）阳阳和明明完上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法依次为1，2，3，5，8，13，21，…，（这就是著名的斐波那契数列），请仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共 种上法． 分析：这道题目为著名的斐波那契数列找到了绝妙、经典的生活背景，孩子们在玩游戏的时候并不知道自己在做数学，而数学家在研究数列的时候可能也没有注意孩子的游戏，命题人把经典数学放在游戏中，让我们在游戏中体验了经典数学． 解：经观察发现，从上第三级台阶开始，以后每个台阶的上法均为前两个台阶的上法组成数列1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，所以上10级台阶共有89种上法． 年 份分 枝 数第1年1第2年 年 份 分 枝 数 第1年 1 第2年 1 第3年 2 第4年 3 第5年 5 分析：这道题和上面一道题目一样，都是著名的斐波那契数列，但是这道题的情景就显得不如上面一道亲切、自然，如果没有表格辅助，单是从图形上找规律，很容易发生歧义和误解． 解：预计到第六年时，树木的分枝数为3+5=8． 例3．（山东济宁市）科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 . 析解：此题要求学生仔细观察、大胆猜测，发现斐波那契数列，即从第三个数起，每个数都等于前面两个数的和，因此第11个数应该等于第9个数与第10个数之和，即34+55=89． 例4．（湖北荆门市）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a）． 第×年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2 3 5 … 新芽率 0 a a 2 3 … 总芽率 a 2 3 5 8 … 照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为_______（精确到0.001）． 析解：从表中观察可得：老芽数、新芽数、总芽数均符合斐波那契数列，但第n年的老芽数、新芽数、总芽数分别为Fn、Fn-1、Fn+1，因此，第8年老芽数与总芽数的比值为F8：F9，即21：34≈0.618．