§4.5 双曲面.doc

§4.5? 双曲面 ? 一、单叶双曲面 1. 在直角坐标系下, 由方程 ＋－＝1 所表示的曲面叫做单叶双曲面, 该方程叫做单叶双曲面的标准方程, 其中a, b, c是任意的正常数. 2. 单叶双曲面的图形(如图4-5). (1) 曲面的对称性：单叶双曲面关于三坐标平面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 单叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做单叶双曲面的主平面、主轴与中心. (2) 曲面与坐标轴的交点：单叶双曲面与z轴不交, 与x轴与y轴分别交于点(±a, 0, 0)与(0, ±b, 0), 这四点叫做单叶双曲面的顶点. (3) 被坐标面截得的曲线：单叶双曲面被三坐标面所截得的曲线方程分别为 ?①???? ?②??? ?③ ①为xOy坐标面上的腰椭圆, ②,③分别为xOz, yOz坐标面上的双曲线, 这两条双曲线的虚轴都是z轴, 虚轴的长都等于2c. (4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平面z＝h来截割, 得截线方程为 ??????????????? ④ 单叶双曲面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线②、双曲线③上. 如果用平行于xOz坐标面的平面y＝k来截割, 得截线方程为 , 此曲线当|k|b时为实轴平行于x轴, 虚轴平行于z轴的双曲线；|k|b时为实轴平行于z轴,虚轴平行于x轴的双曲线；|k|＝b时为两对相交于(0,±b, 0)的直线. 用平行于yOz坐标面的平面来截割, 情况类似. 若a＝b, 方程即为旋转单叶双曲面. 3. 单叶双曲面的参数方程为 二、双叶双曲面 1. 在直角坐标系下, 由方程 ＋－＝－1 所表示的图形, 叫做双叶双曲面,该方程叫做双叶双曲面的标准方程, 其中a, b, c为正常数. 2. 双叶双曲面的图形(如图4-6): (1) 曲面的对称性：双叶双曲面关于三坐标面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 双叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做双叶双曲面的主平面、主轴与中心. (2) 曲面与坐标轴的交点：双叶双曲面与x轴、y轴都不相交, 只与z轴相交于两点(0, 0,±c), 这两点叫做双叶双曲面的顶点 (3) 曲面的存在范围：双叶双曲面在两平行平面z＝±c之间没有曲面上的点, 曲面分成两叶, 一叶上点的坐标都有z≥c, 另一叶上点的坐标都有z≤－c. (4) 被坐标面所截得的曲线：坐标平面z＝0与曲面不相交, 而坐标面y＝0与x＝0分别截曲面得截线为双曲线 ??????? ⑤????????? ????????⑥ 它的实轴都是z轴, 实轴长都等于2c. (5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线: 用平行于xOy坐标面的平面z＝h ( |h|≥c ) 来截割得截线方程为 ?????????????????????? ⑦ 当 |h|＝c时, 截得的图形为一点；当 |h|c时, 截线为椭圆. 双叶双曲面可看成是由椭圆族⑦所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线⑤,⑥上. 用平行于x坐标面或yOz坐标面的平面来截割双叶双曲面都得到双曲线. 若a＝b, 方程即为旋转双叶双曲面. 3. 双叶双曲面参数方程为 ?4．理解以下结论：设有标准形式 Px2+Qy2+Rz2＝1,? PQR≠0. 则有? (1) P, Q, R均正表示椭球面； (2) P, Q, R两正一负表示单叶双曲面； (3) P, Q, R两负一正表示双叶双曲面； (4) P, Q, R均负表示虚椭球面. 它们都有中心, 统称为有心二次曲面. 例1. 给定方程? ＋＋＝1 (ABC0), 试问当?取异于A, B, C的各种数值时, 它表示怎样的曲面? 解：由思考题2的结论, 有 (1) 当?C时, P, Q, R全正, 表示椭球面； (2) 当C?B时, P, Q, R两正一负, 表示单叶双曲面； (3) 当B?A时, P, Q, R两负一正, 表示双叶双曲面； (4) 当?A时, P, Q, R全负, 无图形或表示虚椭球面. 例2. 试求单叶双曲面+－＝1与平面x－2z＋3＝0的交线对xOy平面的射影柱面. 解：单叶双曲面与平面的交线为 从中消去z得所求的射影柱面方程为 (x－12)2＋20y＝260, 即????????????????? ＋＝1. 例3. 设动点到(4, 0, 0)的距离等于这点到平面x＝1的距离的两倍,求这动点的轨迹. 解：设动点为P(x, y, z), 依题意有 , 化简得??????????? －－＝1. 它是以x轴为对称轴的旋转双叶双曲面. 例4. 设直线l与m为互不垂直的两条异面直线, C是l与m公垂线的中点, A、B两点分别在直线l、m上滑动, 且?ACB＝90?, 试证直线