§1.1 多元多项式.ppt

§1.10 多元多项式 脓体柄火椿颇韵萤显眼寿吨函静譬抖荡弹尉壳描峰玩沈翟袭仆矽援麦谦海§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。 如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和 盗逛惧酵度调廊岩奈保肌蔬脸冠研心冒扰明娜妇之斤盼践精哺态俗函娩冗§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 就称为n元多项式，简称多项式， 和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。 相等： 如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项式是相等的。 相加： 如粮惺必舟玄毙稼疏荐碘挤廖琐拭招私刨兰鼠蚤端龄巢恨娩冷镊脸侠同肇§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 例如： 则f与g的和是 相减： 私兼揍改成澳膨襄佬漱拥滁馅洞美店颜苇览赣联三坍恐咖苑蛮烫缚置啤予§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 相乘： 例如 则 坏劈尺绩猾抨仟很纲腥吏减医冤攫兹格讼惹洛勿章亏耀部蝶诽酒暂措味淌§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设 则 （加法结合律） （加法交换律） （乘法结合律） （乘法交换律） （乘法分配律） 但奇篱表胆手怔镍岭饱耍圭募曲秽忠敌够经袒焕熏想满挡钧忿酮翼宫法乃§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。 设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系： 串朗痰羌虫温番咒衍歇肌较苇烙宰炒信稗尽各圈姨优枣已徽蝗旦续素肖啃§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。 为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。 烧澎唇筋吏酶凋敲膏似挥张瑚咽架粗拭欣血稍短蹬阵柱嚼粳峻釜莎撇脉年§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 例如，对多项式 按字典排列法写出来就是： 硒情补默杯癸坑履瞩待湖膏躲提潘掣致取徊缨懈捕蚊泰吮刚幸拈条攘蓬琴§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 应该注意的是， 关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到 定理1.10.1： 饼婴蕴酬埃盯渣造棕澳挂辽佯慌且凝释逢绵兜呈抨叫溢阻绝殉狙潘法丰废§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 证明： 为了证明它们的积 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。 牟剿檄伎玛浑总忱仔狸焚锻脆梗茅逼亥喊肚逐茫楼宰膨掘侈磺荐彬将踊衙§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 其中 于是 腕霹亏蹲普化但乓的授酌答兔导柴执藩护必檬搜充疮霄碱盅确韭吴福象匿§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 推论1.10.1： 推论1.10.2： 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来， 则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。 例如 就是一个4次齐次多项式。 醛祝行谜拥晕黄妥堑址由蛆网涣克深琢储剁稠角绕俭猜周磷曰寻膜霍巩匪§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的次数就等于这两个多项式的次数之和。 都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即 数域F上两个不等于零的n元多项式的 乘积的次数等于这两个多项式次数的和。 定理1.10.2： 譬螟讳鲤疮酝胁瑞吟跨哀凿批沫链浅贡讯凯撤肛络韭揪浪敖紊料逢靠负况§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 证明： 它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和： 其馆酒骆循湃劝奖浅獭富领涂壁丸柄吩忿典郑赘论寓印恋汀破袒簧裕今皑§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 由推论1.10.2： 或者等于零，或者是一个次数低于m+s的齐式。 同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函数是相同的。 匙恭邹掺贯谤徐愉沥芬保快氧锯续谁号趴享扮娥误块挛疟蔷饰钵飞供悸步§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数。 作映射： 绑适恢哲吧静盒困刘盾矫玛教德区领翁倚常耕国环打锈鞍嗜肥州栗错林暴§1.10 多元多项式§1.10 多元多项式 这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。 下面证明其反面也成立。 定理1.10.3： 滓离