Lectre03_密码学的数学引论.ppt

第二章 古典密码总结;第三章　密码学数学引论;1、除数(因子)的概念：设z为由全体整数而构成的集合，若 b≠0且 　　　　使得a=mb,此时称b整除a.记为b∣a,还称b为a的除数(因子). 注:若a=mb+r且0rb,此时b不整除a,记为 2、素数(质数)的概念:整数p1被称为素数是指p的因子仅有1,-1,p,-p。 例：10以内的素数：2，3，5，7;§算术基本定理： 任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达式a＝P1α1P2α2…Ptαt，这里P1P2P3…Pt是素数，其中αi0 例： 91=7*13 11011=7*112*13 分解唯一 任一给定的正整数可通过简单列出所有后面公式中非零指数分量来说明。 整数12可表示为 a2=2,a3=1 即12=22 * 31 整数18可表示为 a2=1, a3=2 即18=21 * 32 两个数的乘法等同于对应指数分量的加法： 例如：k=12*18=216 k2=2+1=3 k3=1+2=3 k=23*33=216;§最大公约数： 若a,b,c∈z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正整数d称为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)表示，如果它满足 d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。 将两个正整数分别表示为素数的乘积，确定它们的最大公因子。 例： 300=22*31*52 18=21*32 gcd(300,18)=21*31*50=6 注：1*. 等价的定义形式是： gcd（a,b）＝max{k∣ k∣a且k∣b} 2*．若gcd（a,b）=1，称a与b是互素的。;二、模算术;注： 1*.如果m∣a-b，则a≡b（mod m） 证明：a-b=km,?a=km+b 2*.相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质： 自反性：对任意整数a有a≡a（mod m） 对称性：如果a≡b(mod m)则b≡a（mod m） 传递性：如果a≡b (mod m）b≡c（mod m）则a≡c(mod m) ;3*.对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那样相加相减和相乘： (1)[a(mod m)±b(mod m)]mod m=(a±b)(mod m) (2)[a(mod m)*b(mod m)]mod m=a*b(mod m) 例如：11 mod 8=3 15 mod 8=7 (11+15)mod 8=[(11 mod 8)+(15 mod 8)]mod 8 =(3+7)mod 8=10 mod 8=2 例如：117 mod 13=? 112 mod 13=121 mod 13=4 114 mod 13=42 mod 13=3 117 mod 13=(112*114*11) mod 13 =(4*3*11)mod 13=2;例如：通过同余式演算证明560－1是56的倍数， 解： 53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣560-1。 证明：223－1是47的倍数？？;同理, 注意到26=64≡-30(mod47), 于是 223=(26)3·25=(26 · 26)26 · 25 ≡900*(-30)*(32) mod(47) ≡(7)(-30)*(32) (mod47) ≡1(mod47) 于是有 47∣223-1 定理：(消去律)对于ab≡ac（mod m）来说，若gcd(a,m)＝1则b≡c(mod m);忽鹅坠懈尿两瘸杖愚挝姿搂邮讽哎质膏驯熄氛伙漾纸辊欺读清块俩栽楚雇Lecture03_密码学的数学引论Lecture03_密码学的数学引论;例如1：附加条件不满足的情况 6×3=18≡2mod8 6×7=42≡2mod8 但3≡7mod8 例如2：附加条件满足的情况 5×3＝15≡7mod8 5×11=55≡7mod8 3≡11mod8;欧几里德算法;例: gcd (1970, 1066) 1970=1*1066+904 gcd(1066,904) 1066=1*904+162 gcd(904,162) 904=5*162+94