FE-C03.1-3单元与插值函数的构造.ppt

本章重点和应掌握的内容;问题： 利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。; 利用广义坐标建立有限单元法的插值函数方法，首先将场函数表示为多项式的形式, 然后利用节点条件,将多项式中的待定参数表示成场函数的节点值和单元几何的函数.无疑,形成插值函数的方法烦琐。尤其在形成三角形高阶单元时,利用面积(自然)坐标可以更方便地建立单元插值函数。; 在单元的选择上, 一维单元可以是2节点线元或3节点二次元, 二维单元常用3/6节点三角元或4/8/9节点四边元, 三维单元常用4/10节点四面体元或8/20节点六面体元。特殊情况下, 也可采用五面体元。; 从节点参数的类型来看, 可以仅包含场函数的节点值,也可能包含场函数的导数的节点值。取决于在单元交界面上的连续性的要求, 这往往由泛函(或控制微分方程)中场函数导数的最高阶决定的。例如,场函数导数的最高阶为一阶时,仅要求在单元交界面上的场函数连续, 即:C0连续性。; 从运算简单和易于满足收敛性的要求来看, 采用幂函数多项式做为插值函数比较合适, 因而得到广泛应用。 然而在一些特殊问题中也有采用3次或5次样条函数做为插值函数的。采用幂函数多项式时, 对于仅满足C0连续性要求的单元, 则仅在单元的角点配置节点。随着连续性要求的增加,单元内部的函数场一般应当二次(或高次)变化, 则要求不仅在单元的角点配置节点,还要在单元的边配置一至数个边节点。为了尽可能构造完全多项式, 一般还会附加生成单元内部节点。到目前为止, 关于单元内部节点的利弊都还待深入研究。一般认为, 在实体(二, 三)维问题中,单元内部节点弊大于利, 应尽量避免。而在板壳问题中,单元内部节点对于稳定计算是有贡献的。;一.Lagrange插值多项式： 1.n个结点构造n-1次Lagrange插值多项式 注： 1)结点i的插值函数,2)?i为第个i结点坐标,3)?为自然坐标 即： 为结点当n-1次插值函数。 i=1,2…n;2. 的性质 i=1,2…n 1) n-1次插值函数,共有n个 2) 3);3.构造一维单元插值函数： a. Lagrange线性插值 (n=2) 或记为：;即：;b. 二次Lagrange插值(n=3);;当ξ1=0, ξ2=1时, 和 是以下???式的三次多项式;在端部节点最高保持场函数的一阶导数连续性的Hermite多项式称为一阶Hermite多项式.0阶的Hermite多项式就是Lagrange多项式. 一般地,在节点处保持至场函数的n阶导数连续性的Hermite多项式称为n阶Hermite多项式. 在2节点时,它是ξ的2n+1次多项式.函数Φ的2阶Hermite多项式可以表示为;其中;3.3.1 三角形单元;二次单元; 是节点i到直线j的正则化的距离(也即面积坐标值),因此可以得到形函数:;通过类似的步骤, 可以得到其余各点形函数:;2. 三次单元;二.二维、三维Lagrange单元族： 1.二维情况 单元结点： ?方向n+1个点 n阶插值函数 ?方向m+1个点 m阶插值函数 1)插值函数：（一般情况） 很明显，有： 可证明： ;常用当有：一次单元、二次单元 2).一次单元4结点单元（矩形） 双线性Lagrange 这里插值函数以结点编号，而不是两个方向。原因是为了在计算机上实现方便。;3).二次单元 9结点矩形单元 (记作： ) 插值函数： 角结点： 边中结点： 内部中结点：;2.Lagrange单元族的特点： 1)Lagrange单元族、插值函数构造方便 2)但存在一些问题：以二维为例， a)内部结点较多 (n-1)(m-1)个 ;单元的次数越高，插值函数构造方便。相应自由度增多。 b)但非完全高次项较多，位移模式包括的多项式的项为：;通常：p次多项式，结点数n，n=(p+1)2 一次单元 多项式 4(项) 完全的一次式: 3, 75% 多余的高次项：1, 25% 二次单元 9(项) 完全的二次式: 6, 67% 多余的高次项：3, 33% 三次单元 16(项) 完全的三次式: 10, 62.5% 多余的高次项：6, 37.5% 而多余的项对于提高单元精度没有多少好处。给我们提出一个问题：如何减少一些不必要的项，以提高效率。;三.Serend