FE-C06.1-6线性代数方程组解.ppt

Chap. 6 线性代数方程组的解法;分块解法的原理和实施方案.; 弹性（材料线性）小变形（几何线性）问题 不随 的变化而变化。 是一组线性代数方程组。;结点位移为基本未知量的系统结点平衡方程;有限元的求解效率及计算结果的精度，很大程 度上起决于线性方程组的解法。 特别是随着研究对象越来越复杂，有限元分析 需要采用越来越多的单元离散模型来近似实际 结构或力学问题的几何构形，;线性代数方程组的解法 直接解法：对一给定的方程组，事先按一定的算法步骤计算出它所需要的算术运算操作数，直接给出最后的结果。 适用于小于100000阶 的方程组。 以高斯消去法为基础，求解效率高。;2. 迭代解法：对于给定的线性方程组，首先假设一个 初始解，然后按一定的算法公式进行迭代。在 每次迭代过程??对解的误差进行检查，并通过 迭代次数不断降低解的误差，直至满足解的精 度要求，输出最后结果。 当方程组阶数过高时，由于计算机有效位数的限制， 直接解法中舍入误差的积累影响精度，可采用迭代 解法。;注：常用的是直接解法，随着计算机的大型化， 高速度，软件系统的发展，允许求解阶数也 大大的提高。;一. Gauss循序消去法___直接解法的基础 对于n阶线性代数方程组的求解： 第一步:消元;n阶线性代数方程组，共需进行 n-1次消元。 第m次消元：;对i 行 m列( i m )的消元公式，（将 m列从m+1个元素开始变为0）;2.消元后得到的 和 中的第i行元素 就是第i-1次消元后的结果，即;3. 载荷向量 消元时所用到的元素都是系数 矩阵 消元最后的结果，因此 的消元可 以和 同时进行，也可以在 消元完成后 再进行。这对用有限元求解同一结构承受 多组载荷时很有意义 ;原系数矩阵对称，则每次消元后得到的待消矩阵亦对称，(参见消元公式)所以可存储一半。 2) 消元结果中 第 i 行元素就是（i-1）次消元的结果;3) 保留了各次消元的Gauss消元因子。 即， 和 可以分别消元 (先消 ，后消 ，特别是对多组载荷的情况) 4)消元工作为 量级。;第二步. 回代——求解 回代公式：;§6.3 三角分解法;由前面分析, Gauss消去法： 每次消元可看作一次 初等变换.;消元过程可写为：;馈丽欢剐铰淆营司潍产摧石痉组雏处墨氧珠蔫毒纫砂什趁柳掉谚礁痞谷滥FE-Ch06.1-6线性代数方程组解FE-Ch06.1-6线性代数方程组解;由Gauss消去法可以得到对 的三角分解：;表示 的消元结果。; 如果能找到 则方程求解可以分为： 1) 对 进行消元， 即 2) 3) 问题：如何找到;2 . 三角分解递推公式： 所以 任一的元素：;因为 不是满阵，且 为单位上三角阵 所以只讨论 ：j(列号) ? i (行号) 的情况 r i 时, r = i 时, r i 时,; 采用上三角储存 所以;1. 按行分解 i = 1 i = 2,3,…,n 工作区;存储情况： ;1. 按列分解 j = 1 i = 2,3,…,n ;存储情况： ;§6.4 带状系数矩阵的直接解法;二维等带宽存储 (n?ND);相关结点：所有与结点i共单元的结点， 称为结点i的相关结点。; 原矩阵 中的 记为： 即二维存储中新的编号 为：;2. 一维变列高存储 ;3. 两种存储的比较;二维等带宽存储的Gauss循序消去法;每一次Gauss消元,最多 修正元素的个数为：;链洞颧染嘲汾肿影沸仲钧丰钒摈池商铝牟仑诱托半浴迸共凹载释巴八扁赶FE-Ch06.1-6线性代数方程组解FE-Ch06.1-6线性代数方程组解;二维等带宽存储工作区为三角形;捞狞灶取婉叫司鲁秉候周跨偿塞申