dsp-6章II.ppt

6.4 双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。 ;; 为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T到π/T 一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤坡器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点 有对应关系。 经过这样的频率变换， 当Ω由 时, Ω1由 -π/T经过０变化到π/T ，即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的。; 将这一关系解析扩展至整个S平面，则得 S平面到S1平面的映射关系： 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令;;; 现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：  ① 当 时，代入（1）式，得： ;;;小结 ;双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢， (ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。; 2)双线性变换缺点： Ω与ω成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅 度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器  ;;; 虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。 ;;预畸变：（设计重点）;; ３)计算H(Z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程:  频响：  ; 这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。 ;对于采样间隔T的选择：; ;例1; 也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。 将 代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。 ; 为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构： 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： , --极点 ;并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得：  ; 可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和fs的相对值 有关，而与采样频率fs无直接关系。