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因子分析 一、前言 变量的相关性 公共因子？ 将多个实测变量转换成少数几个不相关的综合指数 因子分析法 因子分析是指从研究相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。 其基本思想是：根据相关性大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，但不同组的变量相关性较低，每组变量代表一个基本结构—即公共因子。 对于所研究的问题，可试图用最少个数的公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。 也是希望能够降低变量的数目，但不同的是我們是想在一群具有相关性的资料中，找出几个影响原始资料的共同因子。 由上图我们可约略看出因子分析的要义。在九个变量中，可能某几个变量在表面上看来即很相似，亦即其彼此间之相关系数高，而事实上会影响这些变量观察值结果的很可能是其背后看不到的某些共同原因所造成的。 因此我们知道，可借助因子分析法，由九个彼此相观的变量中萃取出其背后真正影响结果的三个主要因素： 就统计上而言，主成份分析所著重的在於如何〝转换〞原始变项使之成为一些综合性的新指标，而其关键在『变异数』问题。 与主成份分析不同的是，因子分析重视的是如何解变量之间的「共变异数」(Covariance)问题，因每一位受试者的反应变量均为一些“共同因子变量”(Common factor variate)和“唯一性变量” (Unique variate)的线性函数。其中“共同因子变量”可产生反应变项之间的共变量(标准化时，即为相关系数)，而唯一性变量部分则只对其所属的变项之变异数有所贡献，所以主成份分析是“变异数”导向的方法，因子分析则是“共变异数”导向的方法。 Formative indicators in a principle components setting. Reflective indicators in a factor analysis setting 其中Xi 为原始资料的反应变项 fij 为第j个共同因子在第i个变项的重要性，亦即共同因子负荷量(Common loading) CFj为共同因子(Common Factor) 二、因子分析模型 一般地，设X=(x1, x2, …,xp)’为可观测的随机变量，且有 f=(f1,f2,…,fm)’为公共（共性）因子（common factor），简称因子（factor） e=(e1,e2,…,ep)’为特殊因子（specific factor） f和e均为不可直接观测的随机变量 μ=(μ1,μ2,…,μp)’为总体x的均值 A=(aij)p*m为因子负荷（载荷）（factor loading）矩阵 通常先对x作标准化处理，使其均值为零，方差为１．这样就有 假定（１）fi的均数为０，方差为１； （２）ei的均数为０，方差为δi； （３） fi与ei相互独立． 则称x为具有m个公共因子的因子模型 如果再满足 （４）fi与fj相互独立（i≠j），则称该因子模型为正交因子模型。 正交因子模型具有如下特性： x的方差可表示为 设 （１）hi2是m个公共因子对第i个变量的贡献，称为第i个共同度（communality）或共性方差，公因子方差（common variance） （２）δi称为特殊方差（specific variance），是不能由公共因子解释的部分 因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。 设 称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。 三、因子分析的步骤 输入原始数据xn*p，计算样本均值和方差，进行标准化计算（处理）； 求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p； 求相关系数矩阵的特征根λi (λ1,λ2,…,λp0)和相应的标准正交的特征向量li； 确定公共因子数； 计算公共因子的共性方差hi2; 对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地解释公共因子； 对公共因子作出专业性的解释。 四、因子分析提取因子的方法 主成分法（principal component factor） 每一个公共因子的载荷系数之平方和等于对应的特征根，即该公共因子的方差。 公因子分析法 极大似然法（maximum likelihood factor） 假定原变量服从正态分布，公共因子和特殊因子也服从正态分布，构造因子负荷和特殊方差的似然函数，求其极大，得到唯一解。 主因子法（principal factor） 设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数，δi’=1/rii。则共同度的初始值为(hi’)2=1- δ