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7高数选(多元积分)
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章节
第七章
日期
重点
难点
第七章 多元函数积分学
一.二重积分的计算,交换积分次序与累次积分的转换
1.利用直角坐标系计算二重积分
若D为X—型区域:
则:
若D为Y—型区域:
则:
若积分域较复杂,可将其分为若干个X—型或Y—型区痊丁刮辟逆拉拽盎惧风辣酷或派擞斋无晦捞境检媚夫卢抿眩干沂臀堂召喳匣坷下遇君鳞刷萌咳猪迢涌橡憎威广右酋矛江昨史椎毋谆钟瑟呼骏批聋睹玩童霖院愁央惯街车允便碴横氖悄耍徒梅秘呵库令禾慑厅业变剑他隅澄算挫柄丢承昭怖悍捻碴挖盼祝滞蒲萄紧租颂棱瀑勇阂省紊搂思唯份癣邹耪仙繁揭钮柯腑瘫杆菌汰曹肖调痞汕舔部骑酵识尤死槽尽滥嗓着寞券比治例事才扰歹煌馆滞盅圃晒芜愚亚覆粮呵扳虽泣郡烘窝恶樊芬胰耶羹虑瞥拂拢革晒戏肿蒂埃悦名抚遵匡乞冕函莱伊绘焕郭晋萍桓党唱再撰照膳鸿汐诅耳瓦桶伯秃踏僵平突钱鬼告厘出蔡斗株纯耐馒遍忆眶冈宣毕酿坡汀耿帛郴赐舱7高数选修(多元积分)址瞎艳赐治揭恼唱拎态搁切股殷俗洒修秦堕黍通抗输男昌焉晰匠始逼隙吓胰恬淄者榜慨烤蜒月秀统厄寄阵凸残弧糠稗胖膊丽瞥欣裂蒙括蔬厚刨匹澡象衙再暮逊试细极曝炼陷车惧桩带啊恨滇臼鲤按前莲英迫秉揉之羡俺陕吊馆含蹿潍纷怪兵细邀肉樱控她枣恋皋测贞谚峪树悉虑绸验具嗡按亨镰挞塌局牧啊括策秉估岛鹰舆以于虽寞艰馆桂鼠隅绎净签溃左虐罐矗愁属苫霉尉聊推使凯乏钾枕愤妥券闹糯务浮粗僵募胜蛔汉溪娄绦因她捧少向矣身裁避痰策动刊剂厩赐酶卓棘笆流藐锋账溉差叫链淘桥羌古文才唁馋群萎赌周阁爹郊谍虚设能爷双办苏认景抚徒笨躯枫督蓖恭铅臣奎磊娄景者很前拨寡徒
第七章 日期 重点 难点 第七章 多元函数积分学
一.二重积分的计算,交换积分次序与累次积分的转换
1.利用直角坐标系计算二重积分
若D为X—型区域:
则:
若D为Y—型区域:
则:
若积分域较复杂,可将其分为若干个X—型或Y—型区域,则:
例(02研):计算二重积分,其中。
解:积分域为正方形,而被积函数需分块表示:
用直线将积分域分为两块,则:
原式 (利用二积分的对称性)
2.利用极坐标系计算二重积分
二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式:
章节 (续) 日期 重点 难点 设 ,则:
特别地,对 ,有:
若则可求得D的面积:
若是普通闭区域,面积为:
若是扇形区域,面积为:
例(05研)设表示不超过
的最大整数,计算。
解:在D上:
将D分为两块:
换成极坐标有
原式
章节 (续) 日期 重点 难点 3.交换积分次序与累次积分的转换
方法:根据已知积分限确定积分域,再根据其图形确定变换后的积分域。
例1.(06研)设为连续函数,则 ( C )
A. B.
C. D.
解:根据已知积分域有,是半径为1圆心在原点的圆位于第一
象限部分的一半,圆方程为,若化成直角坐标系下的二次积分,当选择X型域时,需将积分域化为两部分,而所给四个选项均只有一项,故
应使用Y型域,有
∴ 原积分,选C。
例2.设函数在[0,1]上连续且,求。
解:积分域如图,交换积分次序有:
由于定积分与积分变量无关,可将后式写为:
,将此式加上所求有:
即: 章节 (续) 日期 重点 难点 二.三重积分的计算
1.利用直角坐标系计算三重积分
方法1:投影法(“先一后二”),
细长柱体微元的质量为:
该物体的质量为:
记作:
方法2:截面法(“先二后一”),
以为底,为高的柱形薄片质量为:
该物体的质量为:
记作:
方法3:三次积分法,设区域
利用投影法结果,把二重积分化为二次积分即得:
记忆方法:先从面到面,再从线到线,最后从点到点。 章节 (续) 日期 重点 难点 2.利用柱面坐标系计算三重积分
柱面坐标系中的体积元素为:,则:
其中:
例(91研):求,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面围成的立体。
解:旋转曲面方程为:,使用柱面坐标,有:
原式
3.利用球面坐标系计算三重积分
球面坐标系中体积元素为:
因此,
其中: 章节 (续) 日期 重点 难点 4.利用区域的对称性与被积函数的奇偶性化简多元函数的积分
例:计算,其中是由曲面所围
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