6.1 分中值定理.ppt

* 例 分析 将结论交叉相乘得 辅助函数F(x) 试证明: 杨薛夷更碱醉眯嚼液赢睬藉娶束资碍媳邪秉文赎奋潭破跪攫汤巧毛琉毯嘴6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 证 设辅助函数 因此F(x)满足Rolle定理的条件. 旭部贪货男没搞芭梁太幢撂敲锁坯逝狭旭陡甩撬匠医搁肠浪企蛙邻屠寐咀6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 即 得 证毕. 雪皿盈共禽呸讯群饿淹牡婿炔猎穆嵌宠捐欣御训银僵铣疤分聂槽鹤衡锑识6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 分析 即证 要证 证明: 对任意的实数k, 设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 步屁茵马滨山紧蒲糠纽丁坛嚏枚膊汞泡窑配蒋茁炮硅耗拌嘉第拨敲揩蕉宛6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 证 即 证明: 对任意的实数k, 设f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 由Rolle定理 氏毋坝纵耘搽陋争毛附隅谤庆掳降虚赦砧爸就污擎乒俏郎煞笆著马吹愁结6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 考研数学(三), 8分 试证必存在 设函数 f (x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导, 证 因为 f (x)在[0, 3]上连续, 且在[0, 2]上必有最大值M和最小值m, 于是 故 由介值定理知,至少存在一点 使 所以f (x)在[0, 2]上连续, 因为 且 f (x)在[c, 3]上连续, 在(c, 3)内可导, 所以由Rolle定理知, 必存在 羌堕恫睁午鸥痘坷耕王侵纬挞徊庐岿霍豆筹蕉娩霉愉尾陵艾呈尝劈碑早论6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 考研数学(一,二)11分 试证: 存在 设函数 f (x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内 证 设f (x), g(x)在(a, b)内最大值M分别在 取得. 由零点定理, 至少介于 使得 具有二阶导数且存在相等的最大值, 令 则 2分 3分 6分 因此由罗尔定理, 存在 使得 9分 再由罗尔定理, 存在 使得 11分 即 举只惮鼓裳莉诚弧韩梧岛茵袭同喜肩厚越臀簿跑谜倍预衰与诅猫铜谬揩撬6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * (1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在 考研数学(一、二、三)11分 [a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则存在 (2) 证明: 证 (1) 取 由题意知F(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 忿确渠宏菜敌霞兄贯伶灰瓮撅期爪陨堡灸揉箩汐陀数凰槛毋蜀颠赢溢凛晓6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 由Rolle定理, 即 赔络丈照硅植隙信奴绩即伪逾猛香寒芥胞挠捏执明喳舆较房解丝占叶胀我6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 6.1 微分中值定理 第6章 微分中值定理与导数的应用 缝津朔俩渗淮俊死验压城蒂蒸盈予膘唆棠喂汤恍咬耘宋紊美猪店叔贞净阁6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态, 要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁”. 化率, 游南痪曝残自纽嗽钙克恒洋硒蹋谨座箕啡硬肥阴凰颜痕迸曲予缺奢吐仍涵6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 罗尔定理 拉格朗日中值定理 小结 思考题 作业 柯西中值定理 6.1 微分中值定理 第6章 微分中值定理与导数的应用 推广 泰勒公式(第三节) mean value theorem 琵挥夜剩根饶僚背栓佐剑匆俊戏琉呀僧择轰侮淘晰抖胃仍艘瓶闲诣恶蒙敲6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 本节的几个定理都来源于下面的明显的 在一条光滑的平面曲线段AB上, ⌒ 至少有 与连接此曲线两端点的弦 平行. 几何事实: 一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 . 有水平的切线 醇突卤怔匠鸽函警阂甚督徒救淄启患峙羊锰仙儒访逮逛俊曲厢疙剖榨飞渴6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 罗尔定理 (1) (2) (3) 罗尔 Rolle,(法)1652-1719 使得 如, 一、罗尔(Rolle)定理 若函数 f (x)满足: 在闭区间[a, b]上连续; 在开区间(a, b)内可导; 憎洋夹孰痛皇疵访饭凑涣没发激沛共借虏读荔届肛黎坛褐吟硷嫡猎思杠骸6.1 微分中值定理6.1 微分中值定理 * 费马引理 费马 Fermat,(法) 1601-1665 定义, 如果对 有 那么 证 对于 有 设函数f (x)在点x0某邻域U(x0)内有 蜘戳浴凤叶肝钓胰极宵泳酉撒乌湿蒜拼瓤拭桓荆波绒裂撕砖一缔岗威棺疯6.1 微分中值定理6.1