2.3.双曲线的简单几何性质教学设计.doc

§2.3.2 《双曲线的简单几何性质》教学设计中山市第一中学数学组 孙卫强一、教学目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。 能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、教学重、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT）……（师生共答） 在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。那么，你认为应该研究双曲线的哪些性质呢？生：范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）讲授新课：我们先来研究一下焦点坐标在x轴上的双曲线的简单几何性质。1双曲线的简单几何性质（1）范围 （PPT）从图形看，的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ 的范围呢？（2）对称性（PPT）从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x轴、y轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？生：……（犹豫）提示：用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线……关于x轴对称。同理，若用代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于y轴对称。若用分别代替原方程中的，若方程不变，则该曲线关于原点对称。所以，双曲线是关于x轴、y轴和原点都是对称的。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。由图形可以看到，双曲线的顶点有几个？顶点坐标是？ 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把标在图形上。为了后面定义渐近线表述的方便，定义如图矩形为双曲线的特征矩形。椭圆中有长轴和短轴的概念，并且长轴比短轴长。双曲线中也有类似的定义。如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的半虚轴长.我们知道，双曲线定义中a和b的大小关系是不确定的。但是它们之间存在一种特殊的关系：a=b。此时实轴2a和虚轴2b也是相等的。实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.等轴双曲线的方程为（4）离心率类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。 椭圆离心率的范围是什么？（）。它对椭圆的形状有何影响？（影响椭圆的扁平程度，e越大椭圆越扁）。那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？ e对双曲线的形状有何影响呢？通过几何画板演示，得出结论：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大（5）渐近线几何画板演示：图1：初中学过，双曲线的图像与x轴和y轴无限接近但不相交，那么x轴和y轴就是双曲线的渐近线，只不过双曲线不在标准位置。图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是定义：特征矩形的两条对角线叫做双曲线的渐近线。 双曲线的渐近线方程是即 注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程中的1改为0后得到新的方程，它的解就是两条渐近线方程。（此处提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式） 等轴双曲线的渐近线方程是 渐近线的作用：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图。（简述作图过程） 下面，我们来研究一下焦点坐标在y轴上的双曲线的简单几何性质。2 双曲线的简单几何性质（1）范围 （2）对称性 关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点 （4）离心率 （5）渐近线 即此处渐近线方程和双曲线方程的关系与前面类似。（三）例题讲解例1、求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程.由此可知，半实轴长，半虚轴长. 所以，焦点坐标是离心率，渐近线方程是注：此问题由学生口答。练习：求双曲线的渐近线方程变式：已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线过点，求此双曲线的标准方程提示：渐近线方程为的双曲线的标准方程可设为（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1 双曲线的简单几何性质 2 双曲线与渐近线（1）双曲线的渐近线方程是即（2）渐近线是的双曲线方程可设为（五）作业布置 课本备用思考：求与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.提示：与共渐近线的双曲线的标准方程可设为解：设所求双曲线的标准方程可设为，由题意得 解得 所以，所求双曲线的标准方程