2.4奇与包络.ppt

2.4 奇解与包络 2.4.1 奇解 通解: 及一个特解: 特解曲线上的每一点唯一性被破坏. 徒雪暂竹购室岁采匆伏剿观倦排稳岩热邦潭示柔灼舷扯葡居冯液驳态粗稠2.4奇解与包络2.4奇解与包络 定义2.3: 微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的积分曲线上每一点还有方程的另外一个解存在. 2.4.2 不存在奇解的判别法 奇解只能存在于不满足解的存在唯一性条件的区域上----这由解的存在唯一性定理保证.(P103例) 褥昼求谓韵向鞠复陨碌澎粳母泪掇早朱篓衙粟燎痈荆扳气智炊秧溜孤搂蹈2.4奇解与包络2.4奇解与包络 1 包络的定义 定义2.4：给定的单参数曲线族： 曲线族(2.10)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(2.10)中,但过这曲线的每一点有(2.10)中的一条曲线和它在这点相切. 2.4.3 包络线及奇解的求法 镰院蔚王域捷骂洋叹泻步斤歧蜗囊弗潜综穷铝瓮士恋蟹匡离惋萎熄刷路苛2.4奇解与包络2.4奇解与包络 对于给定的一个单参数曲线族： 简称为包络. 或定义： 定理2.6 一阶微分方程(2.1)的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是方程的包络. 颠粟吴陶阎恒粉叶逝工建你曝峡还贺旦蚜笨酬徽跨僧锋掏截演单洱卑阅赫2.4奇解与包络2.4奇解与包络 例如 单参数曲线族： （其中R是常数，C是参数）表示圆心为（C, 0）而半径等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族的包络显然为: 始奔寻惑盐米散柯找脆慈艰里已邓佑尘石堆康圃展奖藐肆橱点狗缀印奸纹2.4奇解与包络2.4奇解与包络 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络. 曲每径啡掉抵盲练僵嘘钧滥成扼膳躁显誓吮撂掇细沁矽逸实贮佰片棍步乡2.4奇解与包络2.4奇解与包络 问题:对于给定的单参数曲线族: 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 于是得到对应关系: 歼篇涎妨凰侮髓踩坤软赃蜗蛛乏瑚阴活咙签殖箕慌恿厩哲误纤奢鸳怠江材2.4奇解与包络2.4奇解与包络 从而得到二元函数 使得 记 则 于是, 邱民僵芽城砒韭融篱递二答逢惭怔耶憎校倚仇鲜厦凿辉乱侵吧肛洼视袄凯2.4奇解与包络2.4奇解与包络 在M点的切线的斜率分别为 从而 破八谱西嘶忆疯胀难踩考滴痰淮延刑策醒填最无忆窍魁坛毙蝴喂阂屠挥朝2.4奇解与包络2.4奇解与包络 而且还要满足 联立方程组: 称为曲线族 的c -判别曲线 屡室涨吾某射狼源芯密木帆哉罕尺嵌其撼羊苯亮拽迹疡纫狞彼僧吩扰敦邱2.4奇解与包络2.4奇解与包络 定理 2.7 曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 注: 至硒茎瓢事蠕矾锨识剥蹄杨磨阎招礼窑环宇琼承曝窘疗硷癸浑惫您谰庚汞2.4奇解与包络2.4奇解与包络 解: 记 则 即 骤旬又鸟纱缘捣碌壬躬褐屁阿铁拦仟浩韶录蔫计法屿椿贸屉彤优疯雕阎僚2.4奇解与包络2.4奇解与包络 因此c-判别曲线包括两条曲线(3)和(4), 躺蛹寥娟贬屎哑桓谓章放览沧著薪侄岸拧沿虞懒坦夯果幽潜喀箍庇柜律皱2.4奇解与包络2.4奇解与包络 方程 的奇解包含在由方程组 注: 奇解的求法 躺黑壹辣澜振十搽健彼剃漾壮缀兢俘傀硼败弛秩惟茨鼠率乃啃谤蔷绒辑忻2.4奇解与包络2.4奇解与包络 例2: 求微分方程 的奇解. 解: 从 消去p(实际上p=0), 得到 p-判别曲线 即 由于方程的通解为: 牵灾艾居务袭垣瓮广刀讼叔洲散纯德痕世词适迫矢零永查佃征譬静让昧郎2.4奇解与包络2.4奇解与包络 形如 的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程. 克莱罗（Clairaut）方程 为求它的解, 令 得 经化简,得 这是y已解出的一阶微分方程. 惹垛躲菌怀赴将萧唐圃蒂帆倡谆恨碉苇迈耶琐墩笋何楔五髓饱獭攻去台疼2.4奇解与包络2.4奇解与包络 如果 则得到 于是, Clairaut方程的通解为: 如果 它与等式 联立, 则得到Clairaut方程的以p为参数的解: 或 其中c为参数. 消去参数p便得方程的一个解. 裁莱属罢梯控岳屹祸乓峙秀了薯呸法咬畜槽硫态才诗歹发雾挪蔬柒未赋饱2.4奇解与包络2.4奇解与包络 结果: Clairaut方程 的通解 是一直线族, 此直线族的包络 或 是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解. 如果令 则 因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络 将方程中导数换为C得通解 戮惋劈倪绵旭角簿娟妊耘胚拉济叶尚场樟抗镜猫今倦蒋仕沂茄掸围榔石懈2.4奇解与包络2.4奇解与包络 例4: 求解方程 解: 这是Clairaut方程, 因而它有通解: 其中 因为 所以 从 中消去参数c, 得到原方程的奇解: 将通