1用累加求an.doc

1用累加法求an=an－1+f（n）型通项 例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。 （2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+2n(1)（n≥2），求an。 解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1 则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1 =f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1 =（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1 =3×2(（n+2）（n－1）)－2n+3=2(3n2－n) （2）由an=an－1+2n(1)知an－an－1=2n(1)，记f（n）=2n(1)= an－an－1 则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1 =f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1 =2n(1)+2n－1(1)+2n－2(1)+…+22(1)+1=2(1)－2n(1) 评注：当f（n）=d（d为常数）时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。 2、用累积法求an= f（n）an－1型通项 例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an=n(2（n-1）)an—1（n≥2），求an （2）数列{an}满足a1=2(1)且an=2n(1)an—1，求an 解：（1）由条件 an—1(an)=n(2（n－1）)，记f（n）=n(2（n－1）) an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1 =n(2（n－1）)·n－1(2（n－2）)·n－2(2（n－3）)·…3(2×2)·2(2×1)·1=n(2n－1) （2）an= an—1(an)· an—2(an－1)·… a1(a2)·a1=2n(1)·2n－1(1)…22(1)·2(1)=21＋2＋…＋n(1)=2－ 2(n（n＋1）) 评注：如果f（n）=q（q为常数），则{an}为等比数列，an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。 3、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项 例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。 解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1 令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－3(1) ∴ an－3(1)=－2（an－1－3(1)） 故{ an－3(1) }是公比q为－2，首项为an－3(1)=3(2)的等比数列 ∴an－3(1)=3(2)（－2）n－1=3(1－（－2）n) 评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－1）x，则有 （A－1）x=B知x=A－1(B)，从而an＋A－1(B)=A（an－1+A－1(B)），于是数列{an＋A－1(B)}是首项为a1+A－1(B)、公比为A的等比数列，故an＋A－1(B)=（a1+A－1(B)）An－1，从而 an=（a1+A－1(B)）An－1－A－1(B)；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列. 4、通过Sn求an 例10：数列{an}满足an =5Sn－3，求an。 解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1=4(3)。由于an =5Sn－3………① 则 an-1 =5 Sn-1－3………② ①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1 =5an 故an=－4(1)an-1，则{an}是公比为q=－4(1)、首项an=4(3)的等比数列，则an=4(3)（－4(1)）n-1 5,取倒数转化为等差数列 例11：已知数列{an}满足a1=1且a n+1= an+2(2an)，求an。 解：由a n+1= an+2(2an)有 an+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1) 即an+1(1)－an(1)=2(1) 所以，数列{an(1)}是首项为a1(1)=1、公差为d=2(1)的等差数列